Непонятно. Пошел ЛЛ-3 читать.
Вот один из недостатков ЛЛ-3 - это то, что там очень паршиво про группы и представления рассказано.
Почитайте Рубаков. Классические калибровочные поля, 3-я глава.
-- 03.01.2011 12:19:04 --Так в формуле поворота должен быть только просто момент импульса, а не полный, просто векторное произведение, где набла есть. В начале главы ж ничего про спин не писалось...
Обратите внимание, когда пишут
эти операторы действуют на разные переменные:
на координаты, а
на спиновые компоненты. Так что всё правильно: в начале главы писали про скалярную волновую функцию, а когда её заменили на спинорную, надо к оператору добавку добавить. Сначала её надо добавить, чтобы поворот правильно действовал: не чтобы только поточечно значения волновой функции одно в другое переходили, но и чтобы спинорные компоненты одна в другую правильно превращались. А потом как следствие точно такая же добавка появляется и в выражении сохраняющейся величины (даже если никакого спин-орбитального взаимодействия нет, и момент со спином сохраняются в том числе и по отдельности).
![$\[{R_{\alpha \beta }} = {\delta _{\alpha \beta }} + {\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }}{\varphi _\gamma } = {\delta _{\alpha \beta }} + i{\left( {{{\hat s}_\gamma }} \right)_{\alpha \beta }}{\varphi _\gamma }\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/d/49d4443247d7904956e1c1065714518282.png "$\[{R_{\alpha \beta }} = {\delta _{\alpha \beta }} + {\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }}{\varphi _\gamma } = {\delta _{\alpha \beta }} + i{\left( {{{\hat s}_\gamma }} \right)_{\alpha \beta }}{\varphi _\gamma }\]$")
, где ![$\[{\left( {{{\hat s}_\gamma }} \right)_{\alpha \beta }} = - i \cdot {\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/7/d670f31fdf10c382134552527de6192082.png "$\[{\left( {{{\hat s}_\gamma }} \right)_{\alpha \beta }} = - i \cdot {\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }}\]$")
.![$\[{{{\hat s}_\gamma }}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/a/cfaf22ec760f0231bde80825ceb4302582.png "$\[{{{\hat s}_\gamma }}\]$")
-- это матрица 3 на 3, и т.д.![$ \[{{\hat s}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & { - i} \\
0 & i & 0 \\
\end{array} } \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/4/224aeebedfde61e3bad22dca05ed145282.png "$ \[{{\hat s}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & { - i} \\
0 & i & 0 \\
\end{array} } \right)\]$")
.![$ \[\left| {\frac{1}
{2},\frac{1}
{2}} \right\rangle ,\left| {\frac{1}
{2}, - \frac{1}
{2}} \right\rangle \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/b/61bb59ee85f7a0291c3cc1f47ca169b382.png "$ \[\left| {\frac{1}
{2},\frac{1}
{2}} \right\rangle ,\left| {\frac{1}
{2}, - \frac{1}
{2}} \right\rangle \]$")
получается ![$\[{{\hat s}_1} = \frac{1}
{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 1 \\
{ - 1} & 0 \\
\end{array} } \right)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/a/d7a81764edbb1eb42520c2777ba08e7682.png "$\[{{\hat s}_1} = \frac{1}
{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 1 \\
{ - 1} & 0 \\
\end{array} } \right)\]$")
. Это действительно так? По-крайней мере мне не нравится, что эта матрица 2 на 2... Помогите разобраться пожалуйста...
![$\[1 + i\delta \varphi \cdot {\text{n}\hat s}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/5/165c37437de3f85954eb6986a08f3cb682.png "$\[1 + i\delta \varphi \cdot {\text{n}\hat s}\]$")
есть оператор поворота на угол ![$\[\delta \varphi \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/f/a6f45a28c151c4c2f9099e4369f05b7182.png "$\[\delta \varphi \]$")
вокруг направления, задаваемого единичным вектором ![$\[{\text{n}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/2/872640215d631b980345dea8293e598582.png "$\[{\text{n}}\]$")
![$\[1 + i\delta \varphi \cdot {\text{n}\hat L}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/6/6a60a12caaf5b1ed1bd9263ef58cfcd782.png "$\[1 + i\delta \varphi \cdot {\text{n}\hat L}\]$")
, я бы еще понял, ведь это действительно так. А почему вдруг заменили эль на эс, и говорят, что это оператор поворота?
...
Лев Давыдович был вынужден к нему прибегнуть, чтобы получить хоть какое-то внятное описание.
а ![$\[1 + i\delta \varphi \cdot {\text{n}(\hat{ s}+\hat{L}})\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/3/e032620cb07f41379799e4f3a864371582.png "$\[1 + i\delta \varphi \cdot {\text{n}(\hat{ s}+\hat{L}})\]$")
недостатосно. Нужно 
.
двухкратно накрывает 
это все понять вообще не возможно. И ЛЛ тут не поможет, там этого нет. Действительно получается подмена понятий. На самом деле спин дает (неоднозначное) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ группы вращений и это представление не является изоморфизмом.