Последние цифры делителей

[Mitrofanich]

Верно ли, что для каждого натурального числа n количество его натуральных делителей, оканчивающихся на 1 или 9 в десятичной записи, не меньше количества его натуральных делителей, оканчивающихся на 3 или 7 в десятичной записи?
Если верно - доказать, если нет - привести контрпример.

[gris]

$1\times 1=1;\,1\times 9=9;\,\,\,\,9\times 9=81$
$3\times 3=9;\,7\times 7=49;\,3\times 7=21$

$1\times 7=7;\,1\times 3=3;\,\,\,\,9\times 3=27;\,9\times 7=63$

[RIP]

Пусть $\chi$ --- неглавный вещественный характер Дирихле по модулю $10$ (то есть $\chi(3)=-1$). Надо проверить, что для любого натурального $n$ выполнено $\sum_{d|n}\chi(d)\ge0$, а это очевидно справедливо для любого вещественного числового характера.

[Руст]

Можно ответить точнее.
Если $n=2^{\alpha}5^{\beta}p_1^{k_1}...p_m^{k_m}q_1^{l_1}...q_s^{l_s}$, где
$p_i=3,7\mod 10, q_i=1,9\mod 10$, то количество делителей окончивающихся на 3 или 7 столько же, сколько и делителей окончивающихся на 1 или 9 в том и только в том случае, когда хотя бы одно из чисел $k_i$ нечетное. Если $k_i$ нечетное, то каждому делителю, содержащему $p_i^a$ сопоставляем такой же делитель только содержащий $p_i^{k_i-a}$.
Если все $k_i$ четные, то делителям содержащим $\prod_ip_i^{k_i}$ нам нечего сопоставить. Соответственно, обозначив через $\tau =(l_1+1)...(l_s+1)$ получаем, что количество делителей, окончивающихся на 1 или 9 больше количества делителей окончивающихся на 3 или 7 в точности на $\tau$..