Доказать, что множество пустое.

[Alex1010]

Проверьте, пожалуйста, доказательство следующей задачи.

Цитата:

Доказать, что множество всех прямоугольных треугольников, у которых длины сторон — целые числа, а периметр — простое число, — пустое.

Доказательство:
Пустое множество — это множество, в котором нет ни одного элемента. Докажем что не существует прямоугольных треугольников у которых длины сторон равны целым числам и периметр при этом является простым числом.
1) Любой прямоугольный треугольник, у которого длины сторон равны целым числам является Героновым и длина его сторон составляют пифагорову троку.
2) Если длины сторон нашего треугольника образуют непримитивную пифаговору тройку, то всегда можно найти подобный треугольник, длины сторон которого образуют примитивную пифагорову тройку, так как при делении пифагоровой тройки на одно и то же целое число можно всегда получить примитивную, а если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
3) Так как любая примитивная пифагорова тройка обязательно содержит два числа разной чётности и одно нечётное, то получается, что $p=(2k)+(2k-1)+(2k-1)=2k+2k+2k-1-1=6k-2$ — чётное, т. е. всегда делится на 2 ⇒　не является простым числом. Ч. т. д.

[Trotil]

В пункте $3)$ небольшая неточность. Даже две небольшие неточности.

[Alex1010]

Теряюсь в догадках, но наверное, если точно следовать статье из википедии о пифагоровой тройке, а именно этому моменту:

Цитата:

Нетрудно видеть, что в примитивной тройке числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно.

, то получается $P=(4k)+(2k-1)+(2k-1)=4k+2k+2k-1-1=8k-2$, вторую неточность не вижу.

[gris]

Неточность в том, что Ваши длины сторон не удовлетворяют неравенству треугольника .
Надо бы взять разные $k:\,k_1,\,k_2,\,k_3$
Пункт 2 логически порочен: а при чём тут подобный треугольник?

[Alex1010]

gris в сообщении #394425 писал(а):

Неточность в том, что Ваши длины сторон не удовлетворяют неравенству треугольника .
Надо бы взять разные $k:\,k_1,\,k_2,\,k_3$

Понятно теперь.

Цитата:

Пункт 2 логически порочен: а при чём тут подобный треугольник?

С учётом всех исправлений получается так:
2) Если длины сторон нашего треугольника образуют непримитивную пифаговору тройку, то всегда можно найти соответствующую примитивную пифагорову тройку, разделив её на одно и то же число, так как числа тройки образуют однородный многочлен и при делении его на одно и то же число его члены не меняются.
3) Так как любая примитивная пифагорова тройка обязательно содержит два числа разной чётности (чётное делится на 4) и одно нечётное, то получается, что $p=(4k_1)+(2k_2-1)+(2k_3-1)=4k_1+2k_2+2k_3-2 — чётное, т. е. всегда делится на 2 ⇒　не является простым числом. Ч. т. д.

[gris]

Пункт 2 не понял. Если тройка непримитивна, то у длин сторон есть общий целый множитель, который просто выносится за скобку при подсчёте периметра, что говорит о составности последнего.

[Alex1010]

Теперь дошло.
2) Если длины сторон нашего треугольника образуют непримитивную пифаговору тройку, то
$ak_1^2+ak_2^2=ak_3^2$
$a(k_1^2+k_2^2)=ak_3^2$
Следавательно $k_3$ не простое.

[paha]

а зачем огород городить?
Сумма квадратов трех чисел четна, значит сумма самих чисел...

[Simba]

сумма сторон нечетна, т.к. периметр простое число, а по теореме пифагора их сумма четна, вот и противоречие

[paha]

Simba в сообщении #394529 писал(а):

сумма сторон нечетна, т.к. периметр простое число, а по теореме пифагора их сумма четна, вот и противоречие

гениально!