2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывная функция
Сообщение22.09.2006, 11:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть функция f(x), определённая на интервале [0,1] удовлетворяет условиям: f(0)=0,f(1)=1 и
существуют a и b из интервала (0,1), что
$\forall x,y\in [0,1] \ f(ax+(1-a)y)=bf(x)+(1-b)f(y).$
Докажите, что если функция f(x) непрерывна, то a=b и f(x)=x.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 14:32 


21/06/06
1721
Ну если мы положим x=1, а y=0, то тогда будем иметь, что
f(a)=b*f(a). Отсюда или f(a)=0 или b=1, второе невозможно по условию, следовательно f(a)=0, где a из указанного уважаемым автором интервала.
Непонятно, как тогда прийти к решению.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 14:48 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Sasha2 писал(а):
Ну если мы положим x=1, а y=0, то тогда будем иметь, что
f(a)=b*f(a).

Тогда будем иметь f(a)=b.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 15:18 


21/06/06
1721
Не вижу почему, но если даже и так тогда далее b*2=b, откуда b опять или 0 или 1. Что невозможно поусловию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 15:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Видно же при x=1,y=0 получаем f(a)=b, при x=0,y=1 f(1-a)=1-b. И ни каких противоречий не получается. Противоречие в непрерывности при a не равным b.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 16:06 


21/06/06
1721
Извините просто сразу как-то невнимательно

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 18:02 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Имеем $f(ax)=bx$ и $f((1-a)x)=(1-b)x$. Откуда по непрерывности следует $f(a^z)=b^z$ и $f((1-a)^z)=(1-b)^z$ для всех $z>0$.
Выберем числа $u, v>0$ так, чтобы $a^u = (1-a)^v.$ Тогда $b^u = (1-b)^v.$ Логарифмируя, получаем
$$\frac{\ln(a)}{\ln(1-a)}=\frac{\ln(b)}{\ln(1-b)}.$$
Нетрудно убедиться, что функция $\frac{\ln(x)}{\ln(1-x)}$ убывающая на $(0,1)$, а потому $a=b.$ Тогда из $f(ax)=bx$ следует, что $f(x)=x.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 18:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
maxal писал(а):
Выберем числа $u, v>0$ так, чтобы $a^u = (1-a)^v.$

Получим u=v=бесконечность. Тем более, что пока показали первое свойство только для целых степеней.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 18:17 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
maxal писал(а):
Выберем числа $u, v>0$ так, чтобы $a^u = (1-a)^v.$

Получим u=v=бесконечность. Тем более, что пока показали первое свойство только для целых степеней.

Имелись ввиду конечные числа. Например, $u=1$ и $v=\frac{\ln(a)}{\ln(1-a)}.$ А первое свойство от целых легко распространяется на рациональные, а далее по непрерывности - на действительные.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 18:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
maxal писал(а):
Имеем $f(ax)=bx$ и $f((1-a)x)=(1-b)x$. Откуда по непрерывности следует $f(a^z)=b^z$ и $f((1-a)^z)=(1-b)^z$ для всех $z>0$.
Из этих равенств видно, что полученные равенства верны при любом натуральном z, однако непосредственно не следует равенство даже для z=1/2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 18:45 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Да, не в те дебри занесло. Все проще на самом деле:
$$b(1-a) = f(a(1-a)) = (1-b)a$$
Откуда в виду монотонности функции $\frac{x}{1-x}$ следует $a=b.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 19:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
maxal писал(а):
Имеем $f(ax)=bf(x)$ и $f((1-a)x)=(1-b)f(x)$.

Исправил ошибку основного равенства. Однако, отюда противоречие не получается
f(a(1-a))=b(1-b).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 19:48 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Еще одна попытка :)

$f(x)=f(a\frac{x}{a})=b f(\frac{x}{a})$
или
$f(\frac{x}{a}) = \frac{1}{b} f(x)$

То есть равенства $f(a^n x) = b^n f(x)$ и $f((1-a)^n x) = (1-b)^n f(x)$ выполняются для всех целых $n.$

Рассмотрим последовательность рациональных приближений сверху $\frac{p_k}{q_k}\to \frac{ln(1-a)}{\ln(a)}.$ Тогда
$$\frac{b^{p_k}}{(1-b)^{q_k}} = f(\frac{a^{p_k}}{(1-a)^{q_k}}) \to f(1)=1.$$

Откуда с необходимостью получаем $\frac{p_k}{q_k}\to \frac{ln(1-b)}{\ln(b)}.$ Но тогда $\frac{ln(1-b)}{\ln(b)} = \frac{ln(1-a)}{\ln(a)}$, что в свою очередь влечет $a=b.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 19:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, оставалось заметить только, что все целые степени годятся. Соответственно только непрерывность приводит к противоречию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group