Линейные подпространства. Простые задачки

[caxap]

Проверьте, пожалуйста. (Далее везде ЛП = линейное пространство, ЛПП = линейное подпространство.)

2.2. Может ли ЛПП конечномерного ЛП быть бесконечномерным.

Нет. Есть теорема, что размерность ЛПП не больше размерности ЛП.

2.3. Докажите, что бесконечномерное ЛП содержит собственные бесконечномерные ЛПП.

Уберём конечное число базисных векторов из базиса ЛП. Оставшийся базис будет включать бесконечное число базисных векторов, а значит их линейная оболочка будет бесконечномерным ЛПП.

2.8. Найдите размерность и базис лин. оболочки следующих векторов из $\mathbb R^4$: $a_1=(1,-1,1,1)$, $a_2=(2,3,1,2)$, $a_3=(4,1,3,4)$.

$a_3=2a_1+a_2$. Векторы $a_1$ и $a_2$ независимы (координаты не пропорциональны). Значит, базис: $b=(a_1,a_2)$, размерность $\dim\operatorname{span} b=2$.

2.10. Найдите размерность и базис ЛПП в $\mathbb R^4$, состоящего из решений СЛАУ: (-- тут однородная СЛАУ --)

Размерность = рангу матрицы коэффициентов, базис = фундаментальная система решений.

2.12. В ЛП квадратных матриц порядка $n$ найдите размерность и базис пересечения ЛПП верхних и нижних треугольных матриц.

Пересечением будет ЛПП диагональных матриц. Базис там такой: $\left(\operatorname{diag}(1,0,\ldots),\operatorname{diag}(0,1,\ldots),\ldots,\operatorname{diag}(0,\ldots,0,1)\right)$. Размерность ЛПП = длина базиса = $n$.

2.15. Сколько прямых дополнений имеет 2-мерное ЛПП в 3-мерном ЛП.

$\infty$. Любая прямая, не лежащая в плокости 2-мерного ЛПП будет прямым дополнением, т. к. пересекается с плоскость в одной точке (= ЛПП $\{0\}$), а в сумме они дают всё 3-мерное ЛП.

[Mathusic]

Всё верно, кроме:
2.10 Размерность не равна рангу матрицы коэф-тов. Представьте, например, систему с высшим рангом (Если, конечно, я правильно понял, что ранг именно ОСЛУ).

2.15. На самом деле все эти прямые - одно ЛПП, так как должны проходить через $0.$ Различны они будут в аффинном пр-ве.

[VAL]

Mathusic в сообщении #393488 писал(а):

Всё верно, кроме:
2.10 Размерность не равна рангу матрицы коэф-тов. Представьте, например, систему с высшим рангом (Если, конечно, я правильно понял, что ранг именно ОСЛУ).

Конечно, размерность пространства решений равна $4-r$, где $r$ - ранг матрицы системы.

Цитата:

2.15. На самом деле все эти прямые - одно ЛПП, так как должны проходить через $0.$ Различны они будут в аффинном пр-ве.

И все же прямых дополнений будет бесконечно много. Достаточно взять любое одномерное пространство, не лежащее в данном двумерном. (Это ортогональное дополнение будет единственным.)

[Mathusic]

del

[caxap]

Mathusic в сообщении #393488 писал(а):

2.10 Размерность не равна рангу матрицы коэф-тов. Представьте, например, систему с высшим рангом (Если, конечно, я правильно понял, что ранг именно ОСЛУ).

Ага, понял. Если будет одно независимое уравнение, будет "гиперплоскость", а если все независимые -- точка. То есть коразмерность = рангу матрицы коэффициентов.

Mathusic в сообщении #393488 писал(а):

2.15. На самом деле все эти прямые - одно ЛПП, так как должны проходить через $0$

А вот тут не понял. Почему эти прямые -- одно ЛПП? Пусть в ЛП есть базис $(e_1,e_2,e_3)$. Пусть плоскость порождена $e_1$ и $e_2$. Возьмём произвольный вектор $\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3$, $\gamma\neq 0$. ЛПП, порождённое этим вектором, будет прямым дополнением к рассматриваемой плоскости. А т. к. векторов вида $\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3$, $\gamma\neq 0$ бесконечно много, то и ЛПП, порождаемых ими, тоже.

[Mathusic]

caxap в сообщении #393531 писал(а):

А вот тут не понял.

Да, вы правы. Это я недопонял терминологию (почему-то думал, что под "прямым" дополнением вы имеете в виду ортогональное)

[caxap]

Ясно. Спасибо всем.