Электростатика равномерно заряженнного треугольника

[drug39]

Равномерно заряженнный треугольник имеет координаты вершин (0,1), (2,1) и (2,0). Повехностная плотность его заряда $\sigma$. Найти поле и потенциал в начале координат.

Что Вы думаете о таких задачах?

[master]

Интегрировать

[drug39]

Ну и как, получается?

[Munin]

Задача некорректна: геометрически треугольник существует в двумерном пространстве, а стандартная электростатика дефинирована только в трёхмерном. Хотя понятно, что авторы имели в виду (0,1,0), (2,1,0) и (2,0,0), оставлять это домысливать на решающего некрасиво.

Электростатику можно перенести в двумерное пространство, но надо оговорить явно, каким способом подразумевается это делать из нескольких возможных. Кроме того, в двумерном пространстве бессмысленно словосочетание "поверхностная плотность", что тоже выдаёт замыслы авторов.

[gris]

А как же задачи типа: заряды $q,q,-q$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$. Определить напряженность поля в центре треугольника?
Я не покушаюсь на основы, просто интересно.

[Munin]

Дык в такой формулировке всего лишь упоминается, что треугольник плоский, а не указывается, что он живёт в двумерном пространстве. Двумерное подпространство трёхмерного пространства - с точки зрения электростатики (уравнение Лапласа/Пуассона) совсем другая вещь.

[gris]

И всё-же, разве нельзя, произнеся какие-то заклинания насчёт симметрии, решать эту задачу как двумерную? Найти поле (я так полагаю, напряжённость) в начале координат. Вот с потенциалом я не так уверен.

[Munin]

gris в сообщении #392834 писал(а):

И всё-же, разве нельзя, произнеся какие-то заклинания насчёт симметрии, решать эту задачу как двумерную?

Можно, произнеся другие заклинания, насчёт электростатики. Например, "считаем форму закона Кулона сохраняющейся ($\varphi=\frac{kq}{r}$) при $z=0$", или "считаем форму уравнения Пуассона сохраняющейся при исключении переменной $z$". Очевидно, это разные заклинания, и приводят они к разным результатам.

[drug39]

Munin в сообщении #392792 писал(а):

оставлять это домысливать на решающего некрасиво

И не такое оставляют домысливать...
Известен Ответ:
$E_x$=$k\sigma $(-Arsh$\frac12$+$\frac{1}{\sqrt5}$(Arsh$\frac12$+Arsh2)),
$E_y$=$k\sigma $(-Arsh2+$\frac{2}{\sqrt5}$(Arsh$\frac12$+Arsh2)),
где k=1/($4\pi\epsilon_0$).
$\varphi=k\sigma a ((\frac12+\frac{2}{\sqrt5})Arsh2+(2+\frac{2}{\sqrt5})Arsh\frac12)$,
где a - длина единицы координат.
Интересно, что поле не зависет от длины единицы коотдинат.

[gris]

А формулировка "тонкая однородно заряженная треугольная пластинка с поверхностной плотностью заряда (вот тут надо подумать, она хоть и тонкая, а плотность-то удвоить придётся?) лежит на координатной плоскости..." будет ли корректной, несмотря на словесную корявость?

И, собственно, в чём вопрос-то? Как ответ получился?

И ещё вопрос. Выходит, плотность заряда измеряется не в Кл/кв. ед.? Тогда бы и писали координаты (а;0). То, что напряжённость не зависит, в общем-то, естественно: заряд пластины увеличивается в $a^2$ раз и квадрат любого расстояния тоже.

[drug39]

gris, треугольник - это не пласнинка, у него нет 1-ой и 2-ой поверхности... треугольник - это плоская фигура, область плоскости и т.д.

[gris]

я согласен. Я же просто предложил альтернативную формулировку.
В приведённом Вами условии одни умолчания действуют, а другие нет. (по умолчанию, все размеры и связанные с ними величины, типа плотности, скорости, привязаны к единице системы координат, которая по умолчанию декартова прямоугольная и с равными единичными отрезками по осям).
Точка движется вправо по координатной прямой со постоянной скоростью $v$. За какое время она переместится от точки с координатой 0 к точке с координатой 1. Я что, должен писать ответ $t=a/v$, где $a$ - длина единицы координат?
Так что Ваш сарказм по поводу условия понятен.

[Munin]

gris в сообщении #392891 писал(а):

А формулировка "тонкая однородно заряженная треугольная пластинка с поверхностной плотностью заряда (вот тут надо подумать, она хоть и тонкая, а плотность-то удвоить придётся?) лежит на координатной плоскости..." будет ли корректной, несмотря на словесную корявость?

Да, будет корректной. И можно считать, что плотность однократная, а иначе как раз стоило бы уточнить "с поверхностной плотностью на каждой стороне".

gris в сообщении #392891 писал(а):

И, собственно, в чём вопрос-то? Как ответ получился?

Я думаю, интегрированием закона Кулона (то есть первый из упомянутых мной способов уточнения).

[gris]

А насчёт единицы системы координат?

Можно ли так?

$\dfrac {E_x(x,y)}{E(x,y)}=\dfrac x{r(x,y)};\quad \dfrac {E_y(x,y)}{E(x,y)}=\dfrac y{r(x,y)};\quad r^2=x^2+y^2$

$E(x,y)=\dfrac {k\sigma}{r^2}$

$E_x=\iint\limits_{\triangle}E_x(x,y)\,ds$

[Munin]

gris в сообщении #392942 писал(а):

А насчёт единицы системы координат?

А насчёт единицы системы координат я не понял, в чём проблема была.