Помогите разобраться с дискретными случайными величинами

[terver2008]

Прибор имеет элементы $A$,$B$,$C$, уязвимые к космическому излучению и дающие отказ при попадании в них хотя бы одной частицы. Отказ прибора наступает в случае отказа элемента $A$ или совместного отказа элементов $B$ и $C$. Определить мат. ожидание числа частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу, если условные вероятности попадания в элементы $A$,$B$ и $C$ частицы, уже попавшей в прибор равны соответственно $0,1;0,2;0,2$.

Считаем вероятность того, что от $k$-ой частицы прибор не сломался, а от $k+1$-ой сломался (условную). Получается что-то в этом роде:
$0.1 * 0.7 ^k + 2 * 0.2 * 0.7^{k-1} * k * 0.2$. Как посчитать такую сумму? Верно ли она составлена? Помогите, пожалуйста.

[--mS--]

terver2008 в сообщении #392382 писал(а):

Считаем вероятность того, что от $k$-ой частицы прибор не сломался, а от $k+1$-ой сломался (условную). Получается что-то в этом роде:
$0.1 * 0.7 ^k + 2 * 0.2 * 0.7^{k-1} * k * 0.2$. Как посчитать такую сумму? Верно ли она составлена? Помогите, пожалуйста.

1) Что Вы будете делать дальше с условной вероятностью? Чтобы найти требуемое матожидание, нужны вероятности $p_k$, с которыми попадание ровно $k$ частиц приводит к отказу прибора. А это - событие, состоящее в пересечении событий "не хватило $k-1$ частицы, но хватило $k$". Так что нужна вероятность пересечения, а не условная вероятность.

К тому же найти условную вероятность так, как написано выше, нельзя. Ведь событие "скольких-то частиц оказалось мало" не определяет, сколько точно попало частиц в $B$ и в $C$. Известно только, что хотя бы один элемент жив (ящик пуст). Возможно, пуст лишь один из ящиков $B$ или $C$ - тогда попадание следующей частицы в его визави выведет прибор из строя. А вдруг пусты оба - и тогда от попадания следующей частицы в $B$ или в $C$ прибор из строя не выйдет никак.

2) Когда Вы записывали вероятность выше, Вы забыли про то, что:
а) попасть хотя бы одной частице в $B$ - не то же самое, что попасть ровно одной частице,
б) события "ничего не попало в $B$" и "ничего не попало в $C$" совместны, поэтому вероятность их объединения не равна сумме их вероятностей.

Предлагаю действовать просто. Есть 4 ящика ($A, B, C, D$, последний - это мимо первых трёх), заданы вероятности в них попадать. Ищем вероятность того, что при бросании $k$ частиц:
а) либо ящик $A$ пуст, $B$ пуст, $C$ не пуст, и $k+1$-я угодила в $A$ или $B$;
б) либо ящик $A$ пуст, $B$ не пуст, $C$ пуст, и $k+1$-я угодила в $A$ или $C$;
в) либо ящик $A$ пуст, $B$ пуст, $C$ пуст, и $k+1$-я угодила в $A$.
Взаимоисключающие варианты, и других нет.

Суммы рядов типа Вашего вычисляются, например, так: $\sum k a^{k-1} = \sum (a^k)' = (\sum a^k)'$. Сумму геометрической прогрессии считать умеете, наверное :)

[alisa-lebovski]

Вообще-то это можно рассмотреть как цепь Маркова.
И искать среднее время до попадания в некоторое состояние.

[--mS--]

Гланды автогеном? ;)