вопрос о несобственном интеграле (перестановка с суммировани

[PreVory]

дан интеграл: $\int\limits_0^1dx\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{4n}(2n-1)!!}{(2n)!!}$ требуется поменять местами знак интеграла и ряда, однако ряд сходится не равномерно на отрезке $[0;1]$. Можно ли както сделать вывод о том, что $\int\limits_0^1dx\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{4n}(2n-1)!!}{(2n)!!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int\limits_0^1\frac{(-1)^n x^{4n}(2n-1)!!dx}{(2n)!!}$ на соновании лишь того факта, что ряд сходился на любом внутреннем отрезке: $[E;1-E]$. И если да, то почему?

[RIP]

PreVory в сообщении #391967 писал(а):

ряд сходится не равномерно на отрезке $[0;1]$

это неправда

[ewert]

PreVory в сообщении #391967 писал(а):

на соновании лишь того факта, что ряд сходился на любом внутреннем отрезке

Можно. Непонятно, правда, зачем Вы отстраиваетесь от нуля, ведь в окрестности нуля-то сходимость уж всяко равномерна. А на другом конце так. Всё, что требуется для подобного трюка -- это иметь возможность поменять местами взятие суммы ряда и переход к почленному пределу при $\varepsilon\to+0$ в том ряде, который получается после почленного интегрирования, не более и не менее. Для чего достаточно равномерной сходимости ряда именно из интегралов. Ну так она очевидно и есть, и не только равномерная, а даже и абсолютно-равномерная. Ведь коэффициенты при степенях ещё до интегрирования уже убывали как единица на корень из эн, а после интегрирования ещё один множитель эн в знаменатели добавится.