нелинейный функциональный анализ (неподвижная точка оператор

[Brukvalub]

Давайте устраним все недоразумения.
Конечно, подмножество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, но речь я вел о другом: метрическое пространство со стандартной топологией всегда замкнуто в этой топологии (просто по определению топологического пространства), и это не зависит от его полноты.

[Руст]

Woland писал(а):

.Остаётся лишь замкнутость. Но она следует из того, что Х-полное. Или нет?По определению, пустое подмножество и все топологическое пространство всегда одновременно открыты и замкнуты, с полнотой это никак не связано.

Пространство называется полным если всякая фундаментальная последовательность
определённая в нём -имеет предел. Но тогда оно обязанно содержать все свои предельные
точки. То есть быть замкнутым. Или опять что то не так?[/quote]
Нет понятия "замкнутое пространство". Можно говорить только "замкнутое подмножество". Полное (относительно индуцированной равномерной структуры) подмножество полного пространства может не быть замкнутым в общем случае равномерных структур. Однако это верно для равномерных структур, связанных с метрикой в силу их сепарабельности.

[Someone]

Руст писал(а):

В этом случае всё просто. А я показывал, что при определении сжимающего отображения, как $\forall x\not =y \ d(Fx,Fy)<d(x,y)$ существует контрпример для некомпактного пространства.

По этой причине сжимающие отображения и определяются так, как я написал, поскольку применять их приходится, как правило, в некомпактных (но полных) метрических пространствах.

Добавлено спустя 4 минуты 47 секунд:

Woland писал(а):

Я к сожалению знаю лишь определение компактного множества. Что такое компактное
пространство-мне не известно.
Одно из определений компактного множества таково:
Множество явл. компактным если оно является:
а) Замкнутым
б) Ограниченным

Это определение годится не для всех метрических пространств.

Пространство (или его подмножество) называется компактным, если из всякого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

[Dan B-Yallay]

Пример


$f(\ x) = \left\{ \begin{array}{l} 1/2 , \ x \ge 0,\\ 0 , \ x < 0, \end{array} \right. $

Само по себе отображение не сжимающе, но $ f^2 (\ x)


или другой пример: $f(x) : [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)

$f(\ x) = \left\{ \begin{array}{l} \ x /2 , 0 \le \ x \le 2,\\ $ ПРОИЗВОЛЬНАЯ функция $g(\ x) : (2, \infty) \rightarrow [0,2], \end{array} \right. $

[Руст]

Для последнего отображения при g(x)=2x никакая итерация N не даст сжимающее отображение.

[Dan B-Yallay]

Верно. Пусть лучше

$f(\ x) = \left\{ \begin{array}{l} \ x /2 , 0 \le \ x \le 2,\\ $ ПРОИЗВОЛЬНАЯ функция $g(\ x) : (2, \infty) \rightarrow [0,1], \end{array} \right. $