Сходимость ряда

[Xenia1996]

Можно ли решить следующую задачу, не применяя высшую математику?

b > 1 is an integer. For any positive integer n, let d(n) be the number of digits in n when it is written in base b. Define the sequence f(n) by f(1) = 1, f(2) = 2, f(n) = n f( d(n) ). For which values of b does 1/f(1) + 1/f(2) + 1/f(3) + \dots converge?

Источник задачи: Putnam Competition, 2002, problem A6.

Если можно, не говорите мне, как именно. Я попробую решить сама. Если нельзя, подскажите, пожалуйста, что именно из высшей математики нужно знать для решения этой задачи?

[ИСН]

Ну, интеграл $\int{dx\over x\ln x\ln\ln x}$ и ему подобные надо уметь брать, а то как-то - - -

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #391928 писал(а):

Ну, интеграл $\int{dx\over x\ln x\ln\ln x}$ и ему подобные надо уметь брать, а то как-то - - -

По формуле брать надо, или требуется некий креативный ход?

Кстати, сегодня узнала (хотя теперь мне это интуитивно понятно, просто раньше не задумывалась), что на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа членов.
Тогда я вообще не понимаю, зачем в задаче первый и второй члены определили отдельно от остальных

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

Кстати, сегодня узнала (хотя теперь мне это интуитивно понятно, просто раньше не задумывалась), что на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа членов.
Тогда я вообще не понимаю, зачем в задаче первый и второй члены определили отдельно от остальных

Наверное решили мозг попудрить.

Xenia1996 писал(а):

По формуле брать надо, или требуется некий креативный ход?

Я видел только один креативный ход при определении сходимости для $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ и то он сводился к обычному приему.

[RIP]

Xenia1996 в сообщении #391948 писал(а):

Тогда я вообще не понимаю, зачем в задаче первый и второй члены определили отдельно от остальных

последовательность задана рекуррентно, первый и второй член --- начальные условия, они влияют на всю последовательность.

[sup]

Думаю, интегралы здесь не нужны. А вот поведение частичных сумм гармонического ряда знать бы не мешало.