Задача по геометрии (ЕГЭ)

[Kazbek]

В треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1:3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Пожалуйста, дайте подсказку как решать.

[caxap]

$BD$, $DC$ находятся из уравнения. Затем используем то, что площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

[Kazbek]

Чтобы найти полупериметры треугольников ADC и ADB необходимо знать длину стороны AD. А как ее найти?

[caxap]

Kazbek, извиняюсь, я первый раз не совсем верно подумал, так что, возможно, надо в другом направлении идти.

Но в любом случае, знание радиусов и $AD$ не помешает. $AD$ можно найти по теореме косинусов (сначала $\angle C$, а потом $AD$). В принципе, тут в задаче всё определено: все стороны треугольника известны, положение точки $D$ известно и т. д., поэтому, в любом случае, ситуация не безвыходная: по всяким теоремам косинусов, синусов и др. можно определить любой элемент на чертеже. Хотя, возможно, есть обходные пути. (Но по опыту знаю, что в ЕГЭшных задачах часто никаких обходных путей нет и задача рассчитана на долгое и механическое решение в лоб.)

[gris]

Может быть попробовать использовать то, что $|EF|=|AE-AF|$ и найти $AE$ и $AF$. Ещё можно использовать свойства касательной.

[Sasha2]

Не совсем понятно, зачем такие навороты с синусами и косинусами, если $AE$ - это полупериметр треугольника $ADC$ за вычетом $CD$, а $AF$ - это полупериметр треугольника $ADB$ за вычетом $BD$. Тут даже и $AD$ находить не нужно.
Далее по тексту уважаемого gris.

[Kazbek]

Всем большое спасибо за помощь! Sasha2, AD я нашел все-таки, иначе как посчитать полупериметр.

[Sasha2]

Ну так AD входит одной стороной в один и в другой треугольник, а значит при вычитании сокращаются.
Вы просто выпишите периметры этих двух треугольников через сумы их сторон и вычтите один из другого.

[Kazbek]

Ясно, спасибо. Ответ я нашел EF = 3. Но ответ к заданию выглядит: 3 или 5. Все перепробовал, но 5 никак не получается. Не подскажите, каким образом можно получить 5. Это ради интереса.

[gris]

Ключевые слова "на прямой"

[Sasha2]

Или иными словами точка D может делить отрезок BC как внутренним, так и внешним образом.

[Kazbek]

Все, разобрался! Большое спасибо!

[M<ath]

" $AE$ - это полупериметр треугольника $ADC$ за вычетом $CD$, а $AF$ - это полупериметр треугольника $ADB$ за вычетом $BD$."
Можно узнать, почему? это какое-то свойство?

[gris]

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, от этой точки до точки касания, равны. Как-то криво получилось с формулировкой, но эта теорема в применении к описанному треугольнику даст желаемый результат.
Можно даже и в коллекцию Sasha2 добавить:
"Отрезок от вершины описанного около окружности треугольника до точки касания её со стороной, исходящей из этой вершины, равен полупериметру треугольника за вычетом длины противолежащей вершине стороны".
Осталось только сформулировать не так косноязыко