Случайные величины

[awd]

1. Найти плотность вероятности случайной величины $\eta=a|\xi|$, если

$$W_{\xi}(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac {x^2} {2{\sigma}^2}}$$

Т.к. функция $y=a|x|$ не монотонна то интервал $(-\infty;\infty)$ разобьём на интервалы: $(-\infty;0)$ и $(0;\infty)$
В $(-\infty;0)$ обратная функция $\varphi_1=-\frac y a$
В $(0;\infty)$ обратная функция $\varphi_2=\frac y a$
$|(\varphi_1 (y))'|=|(\varphi_2 (y))'|=\frac 1 {|a|}$
$\[\begin{gathered} W_{\xi}(\varphi_1 (y))=W_{\xi}(\varphi_2 (y))=\frac 1 {\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac {y^2} {2{\sigma}^2 \cdot a^2}}\end{gathered}\]$
Получается, что:

$$W_{\eta}(y)=\frac 2 {\sqrt{2\pi}\sigma \cdot a}e^{-\frac {y^2} {2{\sigma}^2 \cdot a^2}}$$

При $0<y<\infty$. Но если воспользоваться свойством нормировки, то получается что

$$\int_{0}^{\infty} W_{\eta}(y)dy\ne1$$

В чём ошибка?
2. Пусть $\xi$ гауссовская случайная величина с математическим ожиданием $M[\xi]$ и дисперсией $D[\xi]$. Чему равен корреляционный момент $\xi$ и ${\xi}^2$?
Здесь сложности возникают с нахождением совместной плотности вероятности величин $\xi$ и ${\xi}^2$. Подскажите как её найти, или задачу можно решить обойдясь без этого?

[Хорхе]

1. А у меня равно единице

2. Нет у них плотности. Что такое "корреляционный момент"?

[awd]

Хорхе в сообщении #391605 писал(а):

1. А у меня равно единице

Странно, сейчас ещё раз пересчитал в маткаде, но 1 не получается

Хорхе в сообщении #391605 писал(а):

2. Нет у них плотности. Что такое "корреляционный момент"?

Корреляционный момент:

$$\mu_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x-M[X])(y-M[Y])f(x,y)dxdy $$

Если $M[X]$ и $M[Y]$ ещё можно найти, то что делать с плотностью, не понятно

[ИСН]

1 - посчитайте руками.
2 - раньше это называлось "ковариация". Ладно. Плотность-то там есть, но только в смысле обобщённых функций, это во-первых. Во-вторых, она не нужна.

[awd]

ИСН в сообщении #391628 писал(а):

1 - посчитайте руками.

Да, действительно, получилась 1

ИСН в сообщении #391628 писал(а):

2 - раньше это называлось "ковариация". Ладно.

Почему то в одних книгах это называется ковариацией, в других корреляцией.

ИСН в сообщении #391628 писал(а):

Плотность-то там есть, но только в смысле обобщённых функций, это во-первых. Во-вторых, она не нужна.

Вот это не понятно. Т.е. её можно убрать и оставить только произведение центрированных величин?

[Хорхе]

Подставьте Вашу величину, квадрат ее и посчитайте. Моменты гауссовские мы знаем.

[awd]

Хорхе в сообщении #391644 писал(а):

Подставьте Вашу величину, квадрат ее и посчитайте. Моменты гауссовские мы знаем.

Получается что:

$$(x-M[X])(y-M[Y])=(x-M[\xi])(x^2-(M^2[\xi]+D^2[\xi]))=$$

А что дальше? Если это интегрировать то получится $\infty$

[ewert]

awd в сообщении #391640 писал(а):

Почему то в одних книгах это называется ковариацией, в других корреляцией.

Никак нет. Некоторые действительно любят называть ковариацию корреляционным моментом (или наоборот). Но даже и они не путают ковариацию/корреляционный момент с коэффициентом корреляции.

awd в сообщении #391809 писал(а):

А что дальше? Если это интегрировать то получится

Не надо это интегрировать. Просто $\sigma_{\xi,\xi^2}=M[\xi\cdot\xi^2]-M[\xi]\cdot M[\xi^2]=M[\cdot\xi^3]-M[\xi]\cdot M[\xi^2]$. Вот это тупо и интегрируйте (ну или дифференцируйте, чтобы получить $M[\xi^3]$ из $M[\xi]$ -- остальное-то известно).

Хотя чего там интегрировать. Просто сделайте формальную подстановку $\xi=\eta+m$, где $m=M[\xi]$ (так, чтобы $\eta$ была центрированной гауссовской и с той же дисперсией, что и $\xi$). Потом раскройте все скобки и гордо проигнорируйте все моменты нечётной степени, сразу и ответ.