Отображение круга на себя дробно-линейной функцией

[Xoma]

Помогите пожалуйста разобраться с отображением
Найти общий вид дробно линейной функции $w(z)$,отображающей круг $z<|R|$ на себя если
$w(a)=0 (|a|<R) $
Правильно ли я понимаю вначале нужно перевести круг в единичный
$w_1(z)=\frac{z}{R}$
А что делать потом записать общий вид отображения круга на самого себя при w(a)=0 и всё ?
Это и будет ответ?
Напишите пожалуйста по подробнее как это делать

[paha]

Xoma в сообщении #391227 писал(а):

что делать потом записать общий вид отображения круга на самого себя при w(a)=0 и всё ?

так запишите и посмотрите:)

[ewert]

Логически самый простой способ, не требующий почти никаких знаний. Рассматриваем общее преобразование в виде $w=b\,\dfrac{z-a}{z-c}$. И требуем, чтобы окружность радиуса $R$ переводилась в себя, т.е. чтобы выполнялось тождество

$|b|^2\cdot\left|\dfrac{R\,e^{i\varphi}-a}{R\,e^{i\varphi}-c}\right|^2\equiv R^2\qquad(*)$

(тождество по всем $\varphi$). Переносим знаменатель из левой части в правую и раскрываем скобки. Из-за линейной независимости должны отдельно сокращаться слагаемые, содержащие экспоненты, и отдельно константы. Из сокращения экспонент сразу же следует, что аргумент $c$ должен совпадать с аргументом $a$, и остаётся несложная система из двух уравнений для неизвестных $|b|$ и $|c|$ (аргумент $b$ может быть, естественно, произвольным). Система сводится к квадратному уравнению, которое на первый взгляд может показаться немножко устрашающим, но фактически всё гораздо проще. Дело в том, что исходное $(*)$ имеет очевидное решение $c=a,\ |b|=R$ и оно, очевидно, не подходит. Тогда нужный корень сразу же получается по теореме Виета.