Решить задачу Коши для волнового уравнения.

[xdimedrolx]

Здравствуйте. Не получается решить задачу по урматфиз из сборника Бицадзе.
решить задачу Коши
$e^yu_{xy}-u_{yy}+u_y=xe^{2y}$
$u(x,y)|_{y=0}=sin(x); u_y(x,y)|_{y=0}=\frac 1 {1+x^2}$

Вот начало моего решения, не знаю как продолжить и вроде ошибка в нахождении общего решения.
Находим замену переменных, через ура-я характеристик:
$d=a^2_{12}-a_{11}a_{22}=(\frac {e^y} 2)^2 > 0 $ - гиперболический тип
Так как $a_{22} \not = 0, $ то $ \frac {dx} {dy} = -\frac {e^y} 2 \mp \frac {e^y} 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - e^y + c,\\ x = c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \xi = x,\\ \eta = x+ e^y, \end{array} \right. $ - новые переменные
Приведем к каноническому ввиду:
Пусть $v(\xi, \eta) = u(t, y)$( вот тут не уверен. или должно = $u(x, t)$ ? ).
$u_x = v_\xi + x_\eta; \ u_y = e^yv_\eta; \\ u_{xx} = v_{\xi\xi} + 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta}; \ u_{yy} = e^{2y}v_{\eta\eta} \\ v_{xy} = e^yv_{\xi\eta}+e^yv_{\eta\eta}$
Подставим производные в уравнение и получаем:
$e^yu_{xy}-u_{yy}+u_y - xe^{2y} = e^{2y}v_{\xi\eta}+e^{2y}v_{\eta\eta}-e^{2y}v_{\eta\eta}+e^yv_\eta- \xi e^{2y} = 0$
После сокращения:
$v_{\xi\eta} + \frac 1 {e^y} v_\eta = \xi$

Дальше как я понимаю нужно полученное уравнение проинтегрировать по $\xi $ и $\eta$ и получим общее решение? я просто не знаю как это сделать( .
Заранее спасибо.

[V.V.]

Если все правильно, то выразите $e^y=\eta-\xi$. Получится
"обыкновенное" уравнение по переменной $\xi$ относительно функции $u_\eta$.

[xdimedrolx]

Правильно ли я получаю общее решение?
Для решения $v_{\xi\eta}+\frac 1 {\eta- \xi}v_\eta = \xi$ проинтегрируем сперва по $\eta:\ v_\xi = \xi\eta - \int {(\frac 1 {\eta - \xi} v_\eta) d\eta} + h(\xi) = \xi \eta + \frac 1 {\eta-\xi} v + h(\xi) $
Проинтегрируем теперь по $\xi $ и вместо константы интегрирования поставим произвольную функцию от $\eta$:
$v(\xi,\eta)= \frac 1 2 \xi^2\eta + \int({\frac 1 {\eta-\xi} v + h(\xi)}) d\xi + f_2(\eta) = \frac 1 2 \xi^2\eta + f_1(\xi) + f_2(\eta)$ (здесь точно не правильно).
Перейдем к исходным переменным: $u(x,t) = \frac 1 2 x^2(x+e^y) + f_1(x)+ f_2(x+e^y)$ - общее решение.

Помогите , пожалуйста, найти ошибку в нахождении общего решения.
Может нужно в этой задаче использовать формулу Даламбера?

Окончательный ответ при подстановке нач. условий должен получится таким :
$u(x,y) =\frac 1 2 x^2 ( e^y-1) +sinx+ \frac {x^3-(x-e^y-1)^3} 6 -arctg(x+e^y-1) - arctgx $