Квадратные неравенства

[dnoskov]

Вот уж не думал, что запнусь. Ну, да ладно, тема в следующем:

Решить неравенство:
$18x-27<7(2x-3)^2$
невооружённым глазом видно, что: $9(2x-3)<7(2x-3)^2$, разделив всё на $(2x-3)$ получим вот что:
$9<7(2x_1-3), \;\; 2x_2-3>0$, изходя из того, что число, на которое мы делим неравенство должно быть положительным, и тогда нам не нужно менять знак неравенства. Так вот, значит, решив эти два линейных неравенства получим: $x_1>2\frac{1}{7}, \; x_2>1\frac{1}{2}$.
Здравый смысл, однако, подсказывает, что квадратное неравенство не может иметь подобного решения. Действительно, решая данное неравенство через раскрытие скобок, приведение подобных и т.д. (без калькулятора ), получаем вменяемый ответ: $x \in (-\infty; 1\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{7}; +\infty)$.

Внимание вопрос: Где я напортачил? (есть другие неравенства, успешно решённые через сокращение. и есть другие безуспешно нерешённые)

[gris]

Ну во-первых, если левая часть меньше нуля, то неравенство автоматически выполняется.
А вот с делением надо быть осторожным. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется, это Вы правильно заметили, на ноль вообще делить нельзя. Ужас.
На самом деле надо внимательно рассмотреть три случая.

Ваше неравенство изоморфно $x<x^2$

[dnoskov]

gris

Цитата:

А вот с делением надо быть осторожным. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется, на ноль вообще делить нельзя.

Но ведь это не отменяет найденных решений (если они верны). У нас в данном неравенстве деления нет вообще, а делили мы для удобства, чтобы поскорее решить без длинных вычислений.

Цитата:

Ужас

Цитата:

На самом деле надо внимательно рассмотреть три случая.

А-а-а-а....

... а почему три?
$2x-3>0, \; 2x-3=0 \; 2x-3<0$?

Т.о. получим три варианта, из которых нужно выбрать вменяемый, согласуясь с данным неравенством и с другим полученным соотношением ($x_1>2\frac{1}{7}$)?

-- Чт дек 23, 2010 16:44:38 --

Цитата:

Ваше неравенство изоморфно $x<x^2$

Клёво

[ИСН]

Как-то так, да. И кто такие $x_1$, $x_2$?

[ewert]

dnoskov в сообщении #390603 писал(а):

а делили мы для удобства, чтобы поскорее решить

Никогда, никогда не делите. Деление удобно лишь тем, что ведёт к усложнению логики и удлиннению выкладок.

[gris]

В принципе можно было бы просто раскрыть скобки, перенести влево и решить квадратное неравенство. Но три случая лучше.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ewert писал(а):

Никогда, никогда не делите. Деление удобно лишь тем, что ведёт к усложнению логики и удлиннению выкладок.

Да ладно! На квадраты знаете как клево делить!

[dnoskov]

ИСН

Цитата:

И кто такие $x_1$, $x_2$?

Это я чтоб ссылаться.

ewert
Да, теперь это становится яснее.

gris

Цитата:

Ваше неравенство изоморфно $x<x^2$

Это наталкивает на мысль. Можно ведь заменить, скажем $2x-3=y$, тогда:
$7y^2-9y>0$
$7y(y-\frac{9}{7})>0$
т.о. получаем две системы:

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x-3>0\\ 2x-3>1\frac{2}{7} \end{array} \right$$

и

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x-3<0\\ 2x-3<1\frac{2}{7} \end{array} \right$$

В каждой из этих систем "срабатывает" "более сильное" неравенство, а мы, тем временем, получаем вожделенное решение как надо.

[gris]

Вообще, подобные вопросы возникают при решении иррациональных неравенств типа $\sqrt {x+2} < x$.
Тоже нужно отслеживать "автоматическое" выполнение или невыполнение неравенства, область определения и область равносильности преобразования (возведение в квадрат).

Насчёт первой системы я согласен, а во второй второе уравнение излишне, хотя оно и так проигрывает первому.
Хотя всё правильно, Вы же отказались от деления. А зря.

[ewert]

gris в сообщении #390617 писал(а):

Насчёт первой системы я согласен, а во второй второе уравнение излишне, хотя оно и так проигрывает первому.

Написано ровно так, как формально необходимо. А делать логические упрощения на весу не следует. Во-первых, потому, что думать -- вредно.

[dnoskov]

gris

Цитата:

Вы же отказались от деления. А зря.

Зря Вы считаете, что я отказался. Я вовсе не отказался. Просто в данном случае оно для меня оказалось не вполне ясным.

(Оффтоп)

Зря я считаю, что Вы считаете, Вы просто дали хороший совет, которым я обязательно воспользуюсь как только представится удобная возможность.

Благодарю Вас!

[gris]

Весь вопрос в тактике. Если эта задача из теста и не требует записи решения, то я бы просто раскрыл скобки и решил квадратное неравенство. Если эту задачу задали на устном экзамене, то коварные экзаменаторы явно подкинули крючок в виде сомножителя, и тут можно блестнуть оперением и продемонстрировать логику. Ну как-то неинтересно идти надёжным долгим путём, когда есть хитрый короткий. При тренировке я бы использовал все способы, сравнил их, запомнил плюсы, минусы и подводные камни.

[Батороев]

Нет, ну в школе как-то же справлялись с такими неравенствами, точно помню - сокращали иногда неравенства. Может, приемчики какие-то использовали, типа $2|x|-3>0$?

-- 24 дек 2010 12:55 --

А-а-а, вспомнил, как решали. Рассматривали два случая: $2x-3$ - положительное и отрицательное. Во втором случае меняли знак неравенства. Т.е. примерно так, как сделал топик-стартер:

dnoskov в сообщении #390612 писал(а):

т.о. получаем две системы:

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x-3>0\\ 2x-3>1\frac{2}{7} \end{array} \right$$

и

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x-3<0\\ 2x-3<1\frac{2}{7} \end{array} \right$$

В каждой из этих систем "срабатывает" "более сильное" неравенство, а мы, тем временем, получаем вожделенное решение как надо.