Если $x^2$ делится на $2xy+y^2-1$, то $2x$ делит $y^2-1$

[nnosipov]

age в сообщении #401967 писал(а):

Ну если $x^2\div(2x+y^2-1)$, $x=k_1p$ и $y=k_2p$, то $\overbrace{k_3p}^{x^2}\div[(2x-1)+\overbrace{k_4p}^{y^2}]$. Последнее невозможно без требуемого.

Почему же невозможно? Возьмём, например, $x=60$, $y=9$. Тогда $x^2=3600$ делится на $2x+y^2-1=200$, при этом $2x-1=119$ не делится на $(x,y)=(60,9)=3$.

age в сообщении #401967 писал(а):

$\dfrac{x^2}{x+p}\in\mathbb{Z}\to p\div x$. Так понятней?

Вот теперь понятно. Но это утверждение также неверно. Соответствующий контрпример вы можете найти сами. Кстати говоря, в условии речь идёт о выражении $2xy+y^2-1$, а вы почему-то рассматриваете выражение $2x+y^2-1$.

[age]

Нда-с, позабыл я всё, теряю хватку, да каюсь, и вникать особо не стал.

nnosipov в сообщении #402044 писал(а):

Вот теперь понятно.

А в тот раз было не понятно? Да согласен, догадаться что $\dfrac{x^2}{x+p}\in\mathbb{Z}$ - это не для простых математиков

[svv]

Явная формула для всех пар $(x, y)$, удовлетворяющих условиям задачи (кроме $(0,y)$, а также $(x,1)$):
$x=2p \frac{A^{n+1}-B^{n+1}} {A-B}$,
$y=\frac {A^{n+1}-B^{n+1}-A^n+B^n} {A-B}$.
где
$A=2p+1+2 \sqrt{p(p+1)}$,
$B=2p+1-2 \sqrt{p(p+1)}$,
$n, p$ натуральные ($>0$).

[nnosipov]

svv в сообщении #403629 писал(а):

Явная формула для всех пар $(x, y)$, удовлетворяющих условиям задачи (кроме $(0,y)$, а также $(x,1)$):
$x=2p \frac{A^{n+1}-B^{n+1}} {A-B}$,
$y=\frac {A^{n+1}-B^{n+1}-A^n+B^n} {A-B}$.
где
$A=2p+1+2 \sqrt{p(p+1)}$,
$B=2p+1-2 \sqrt{p(p+1)}$,
$n, p$ натуральные ($>0$).

Да-да, что-то в этом роде. Новый параметр $p$ --- это, наверное, старый $k=x^2/(2xy+y^2-1)$? Мне же интересно следующее. Имеет ли "упрощённая" версия задачи, а именно:

Доказать, что если $x^2$ делится на $2xy+y^2-1$, то $\gcd{(x,y)}=1$

более простое решение, или же и здесь необходим бесконечный спуск?

[svv]

nnosipov писал(а):

Новый параметр $p$ --- это, наверное, старый $k=x^2/(2xy+y^2-1)$?

Да, совершенно верно. Я этого не заметил, потому что получил свои формулы другим способом (который математики наверняка назовут нечестным ):
1. Написал программу на C++, которая в достаточно широком диапазоне перебирает $x$ и $y$ и находит пары, удовлетворяющие условию задачи.
2. Отобразил все найденные точки $(x, y)$ на графике. Удобно использовать оси $\ln x$, $\ln y/\ln x$.
3. Заметил, что все точки естественно разбиваются на "серии" -- ложатся на непересекающиеся кривые. Параметр $n$ -- это как раз номер серии.
4. Зная координаты точек, для каждой из первых 5 серий вручную подобрал формулы $x_n(p)$, $y_n(p)$ ($p$ -- номер точки в серии). Оказалось, что $x_n(p)$ -- полином степени $n+1$ от $p$, $y_n(p)$ -- полином степени $n$ от $p$.
5. Заметил, что для полиномы для соседних $n$ удовлетворяют рекуррентному соотношению $x_{n+1}(p)=(4p+2)x_n(p)-x_{n-1}(p)$, та же формула для $y_n(p)$.
6. По рекуррентной формуле нашел производящую функцию и затем получил явные выражения для $x_n(p)$, $y_n(p)$.
7. Воспользовался "принципом программистской индукции": если в рассматриваемой области все точки получаются из найденных формул, то и вообще все подходящие пары $(x, y)$ получаются из этих формул.

nnosipov писал(а):

Буду рад, если поделитесь ощущениями.

Очень приятная и интересная задача. Хотя, как видите, я оценивал её совсем в другом ракурсе.

[nnosipov]

svv, примите мои поздравления! Вы проделали очень интересный эксперимент, математика в нём вполне присутствует, как, впрочем, и некоторая недосказанность (а точнее, недоказанность ). Если Вы попробуете всё это обосновать, то наверняка переоткроете очень интересную и красивую теорию уравнений вида $x^2-Ay^2=B$ (частный случай --- уравнение Пелля $x^2-Ay^2=1$), ибо все её основные моменты в Вашем эксперименте уже проглядывают (конечное число бесконечных серий решений, каждая из которых представляет собой геометрическую прогрессию). (Я-то подумал, что при выводе своей формулы Вы просто воспользовались плодами этой теории.) Такой экспериментальный взгляд на теоретико-числовые задачи вполне разумен и полезен. В любом случае мне приятно, что решение этой задачи оказалось для Вас нескучным делом (я её придумал как очередную тренировочную задачу по олимпиадной теории чисел, а такие задачи не всегда увлекательны).

[svv]

Спасибо!

(Оффтоп)

Самым трудным делом было объяснить жене, чем я занимаюсь.

[nnosipov]

svv в сообщении #403887 писал(а):

(Оффтоп)

Самым трудным делом было объяснить жене, чем я занимаюсь.

(Оффтоп)

Да-а, моя тоже не всегда понимает, хоть и кандидат наук