Норма интегрального оператора

[Niclax]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я посчитал норму оператора в пространстве $L_2(-1,1)$:

$(Tu)(x)=\int\limits_{-1}^{1}e^{i\pi (x-y)}u(y)\, dy$

$\Vert Tu\Vert^2=\int\limits_{-1}^{1}\vert Tu(x)\vert^2\, dx=\int\limits_{-1}^{1}\vert\int\limits_{-1}^{1}e^{i\pi (x-y)}u(y)\, dy\vert^2dx=\int\limits_{-1}^{1}\vert\int\limits_{-1}^{1}e^{-i\pi y}u(y)\, dy\vert^2dx=\vert\int\limits_{-1}^{1}e^{-i\pi y}u(y)\, dy\vert^2\int\limits_{-1}^{1}\, dx=2\vert\int\limits_{-1}^{1}e^{-i\pi y}u(y)\, dy\vert^2\leqslant 2\int\limits_{-1}^{1}\, dy\int\limits_{-1}^{1}\vert u\vert^2\, dx$

$\Vert Tu\Vert^2 \leqslant 4\Vert u\Vert^2$

При $u(y)=4e^{i\pi y}$ неравенство становится равенством, значит, $C=4$ - точная константа.
Значит, $\Vert T\Vert=4$.

[Dan B-Yallay]

$\| T\|=2$?

[Niclax]

Да-да, забыл корень извлечь. А остальное правильно?

[Dan B-Yallay]

я остальное не проверял. просто указал очевидное....
Вроде верно

[ewert]

Верно, только полезнее заметить, что $Tu=\varphi(u,\varphi)$, где $\varphi(x)=e^{i\pi x}$. Следовательно, $\|T\|=\|\varphi\|^2=\int\limits_{-1}^1|e^{i\pi x}|^2dx=2$.