Теорема Гамильтона--Кэли

[caxap]

Читаю учебник по лин. алгебре. Там даётся доказательство сабжевой теоремы на целую страницу. А разве нельзя её доказать, просто подставив матрицу (пусть $A$) в характеристический многочлен $\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)$: $\chi(A)=\det(A-AE)=\det(O)=0$?

[ewert]

(где-то на форуме этот вопрос уже встречался)

Нельзя. Дело в том, что характеристический многочлен (обычный, числовой) -- определяется через элементы матрицы. В нём никаким боком вовсе не подразумевается возможность подстановки вместо обычной числовой лямбды какой-то ещё и матрицы. И то, что каким-то чудом в результате такой подстановки получается именно ноль -- заранее совершенно не очевидно, это снаружи выглядит неким фокусом.

(Хотя, с другой стороны, на страницу -- это действительно некоторый перебор. Но хоть сколько-то поразмахивать руками всё-таки необходимо.)

[caxap]

ewert в сообщении #389926 писал(а):

В нём никаким боком вовсе не подразумевается возможность подстановки вместо обычной числовой лямбды какой-то ещё и матрицы.

Но ведь теорема Г--К как раз и говорит, что если подставить вместо лямбды матрицу $A$, получим 0.

[ewert]

caxap в сообщении #389933 писал(а):

Но ведь теорема Г--К как раз и говорит, что если подставить вместо лямбды матрицу, получим 0.

Да, говорит. Но это ещё не означает, что для её доказательства не нужно ничего доказывать.

[caxap]

Всё равно не понимаю. Ведь если она говорит, что

caxap в сообщении #389933 писал(а):

если подставить вместо лямбды матрицу $A$, получим 0.

то почему нельзя так прям в лоб и доказать: взяв и подставив вместо лямбды $A$?

[ewert]

Ладно, конкретнее.

Характеристический многочлен сам по себе -- это результат раскрытия некоторого числового определителя.

Характеристический многочлен от матрицы -- это результат формальной подстановки в уже полученное таким образом скалярное выражение матричного аргумента вместо скалярной лямбды.

Ниоткуда заранее не следует, что этот результат хоть сколько-то будет соответствовать выражению $\det(A-A\cdot I)$ (и, кстати, для $\det(A-B\cdot I)$ с произвольной матрицей $B$ -- и впрямь нисколько не соответствует). Ведь второе выражение, с формальной точки зрения, с первым ну решительно никак не связано.

[mihiv]

Нельзя,т.к. $\chi (A)$ это матрица,а $det(O)$ это число.

[caxap]

ewert в сообщении #389942 писал(а):

формальной подстановки в уже полученное таким образом скалярное выражение

Ясно. Спасибо.

(Оффтоп)

Ну тогда, по-моему, так и следует в формулировке писать: $\chi(\lambda)|_{\lambda=A}=O$, а не просто $\chi(A)=0$.

mihiv в сообщении #389947 писал(а):

Нельзя,т.к. $\chi (A)$ это матрица,а $det(O)$ это число.

Ага, уже допёр.