еще одна задача про голосование

[matematik123]

В Государственной Думе принимается новый законопроект. Каждый из 10 присутствующих на заседании депутатов нажимает на одну из трех кнопок (за, против, воздержался). Из-за важности вопроса голосование проводится поименно.
а) Сколько существует вариантов всевозможных голосований?
б) Сколько существует вариантов голосования, при которых законопроект будет принят (голосов "за" подано больше, чем голосов "против"?)?

решение:а)$3^{10}$
б) я как бы сделал, но преподаватель сказал что неверно, что что-то не учел. В-общем, расписал все варианты, при которых "за" больше, чем против, их 30 штук, потом, допустим, в первом варианте где за-1, воздержались-9, против-0, всего вариантов $C(1,10)$ так как этот один человек может быть условно как "петей", "васей", так и "колей" и т.д.(ну вообщем список поименный). Так вот, в итоге у меня получилось что-то типа :
$11+2C(2,10)+3C(3,10)+4C(4,10)+5C(5,10)+5C(6,10)+4C(7,10)+3C(8,10)+2C(9,10)$
но этот ответ неверный
помогите разобраться

Не забывайте про ТеХ! zhoraster

[gris]

Даже на первый взгляд слишком мало вариантов.
Когда все "за"- вариант ровно 1.
Когда "за" 9 человек, то таких вариантов $C(9,10)$ и мы должны учесть, что оставшийся может как воздержаться, так и быть против. То есть получается 20 вариантов. Тут всё правильно.
Но далее. Восемь "за" можно выбрать $C(8,10)$ способами, а вот это число умножить на число вариантов голосования остальных двух. Два "против" - 1 вариант, один "против" один воздержался - 2 варианта, два воздержались - ещё один вариант, то есть всего 4, а не 3.
Семь "за" придётся умножить на 8 вариантов, пока там суммы хорошо сворачиваются.
Начиная с пяти "за" уже надо следить за тем, чтобы количество против не превосходило количество "за".
Вероятно, Вы так и делали, но симметрии в формуле никак не может быть, а у Вас есть

[Хорхе]

Проще всего, я думаю, так: посчитать количество вариантов, где количества голосов "за" и "против" одинаковы, отнять от общего количества вариантов и поделить на два.