Случайные процессы.Марковские цепи.

[arishka]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с задачей.

Больной с патологической инертностью нервных процессов с вероятностью 0,9 повторяет предыдущую реакцию. Пусть исследование состоит в том, что больному предлагают реагировать посредством поднятия левой руки на стимул один удар пальцем по столу и посредством поднятия правой руки на стимул два удара пальцем по столу. Пусть матрица вероятностей перехода для стимулов есть $ \left( \begin{array}{cc} a & 1-a \\ 1-b & b\end{array} \right)$. Как следует выбирать a и b, чтобы минимизировать вероятность появления случайных правильных реакций и суметь выявить описанную патологию.

мне кажется, что матрица примет такой вид $ \left( \begin{array}{cc} 0.9 & 0.1 \\ 0.1 & 0.9 \end{array} \right)$, только я не очень уверенна...

[Gortaur]

Пахнет проверкой гипотезы и статистическим анализом... Можете привести Ваши попытки решения?

-- Пн дек 20, 2010 23:18:57 --

К тому же если матрица и правда имеет такой вид, то Вы будете повторять стимулы с вероятностью $0.9$ если я правильно понял Вашу запись марицы переходов. Если пациент болен, то диагностика как раз должна быть бессмысленной.

-- Пн дек 20, 2010 23:24:37 --

У меня вот предчуствие, что все элементы матрицы должны быть равны (или по крайней мере близки к 0.5 чтобы сбить беднягу с толка)

[alisa-lebovski]

По-моему, чтобы выявить инерцию, надо наоборот почаще менять стимулы, т.е. сделать и матрицу наоборот.

[Хорхе]

Развели тут демагогию...

Во-первых, не написано, что происходит с вероятностью $0{,}1$. Я полагаю, что все-таки правильная реакция?

Если так, то минимизируем мы линейную функцию, поэтому ничего нетривиального в ответе быть не может, потому все прозвучавшие версии неправильны.

[Хорхе]

Я понял, что даже не совсем понимаю условие. Возможно же, что реакция повторяется несколько раз. Тогда оптимизация нелинейная, но тогда ответ зависит от того, сколько уже было проведено испытаний. Неужели нужно считать, что бесконечно много?

Впрочем, зависит не ответ, а оптимизируемая функция. Ответ, кстати, может и не зависеть, надо посмотреть.

[Gortaur]

Собственно, строгая формулировка задачи так ни разу и не прозвучала.

[alisa-lebovski]

Мне кажется, я поняла формулировку, но задача сама по себе довольно сложная.
В каждом опыте экспериментатор может предлагать стимул 1 или стимул 2, а испытуемый показывать реакцию 1 или реакцию 2. Таким образом, получается цепь Маркова уже с 4 состояниями, которые можно обозначить 11, 12, 21, 22. Надо построить матрицу ее переходных вероятностей (4 на 4). Потом найти стационарное распределение (зависящее от параметров). Далее минимизировать сумму стационарных вероятностей $\pi_{12}(a,b)+\pi_{21}(a,b)$ в области $a,b\in [0,1]$.

[Gortaur]

Да там будет 2 гипотезы. Относительно одной $P{12} = P{21} = 0$, относительно другой $P{12|12} = P{12|22} = P{11|21} = P{11|11} = 0.9$.

-- Вт дек 21, 2010 19:42:29 --

Да там будет 2 гипотезы. Относительно одной $P{12} = P{21} = 0$, относительно другой $P{12|12} = P{12|22} = P{11|21} = P{11|11} = 0.9$. Функцию какую нужно минизировать?

[alisa-lebovski]

Цитата:

Далее минимизировать сумму стационарных вероятностей $\pi_{12}(a,b)+\pi_{21}(a,b)$ в области $a,b\in [0,1]$.

Это я ошиблась. Наоборот, такую сумму надо максимизировать. А минимизировать надо, как и было сказано вначале, вероятность появления случайных правильных реакций, т.е. сумму стационарных вероятностей $\pi_{11}(a,b)+\pi_{22}(a,b)$.