Обобщённое пуассоновское распределение

[Nimza]

Пусть $M$ - обобщённая целочисленная неотрицательная пуассоновская случайная величина. То есть её распределение совпадает с распределением случайной суммы $S_{N} = \sum\limits_{n=1}^{N} X_{n}$, где $X_{i}$ независимы и одинаково распределены, $N, X_{1},...,X_{n},...$ независимы и заданы на одном вероятностном пространстве, $ N \sim Pois(\lambda)$ и, кроме того, M неотрицательна и целочисленна.

В книге Королёва и Бенинга "Теория рисков" без всяких комментариев используется тот факт, что найдётся такая производящая функция $\varphi(s)$, что производящая функция $M$ представима в виде $\varphi_{M}(s) = e^{\lambda ( \varphi(s) - 1)}$, то есть $\varphi_{M}(s) = \varphi_{N}( \varphi (s) ), \:\:\: N \sim Pois(\lambda)$. Неужели это очевидно? Откуда это следует?

[alisa-lebovski]

Это формула для производящей функции случайного числа случайного числа слагаемых. Сначала берется производящая функция от фиксированного числа слагаемых, а потом проводится усреднение по этому числу.

[Nimza]

Идея-то понятна. Трудности в обосновании. Как получить ту же $\varphi(s)$?

[--mS--]

Вам же подсказали выше, как обосновать. Взяв производящую функцию (моментов? или речь идёт о характеристической функции?) одного слагаемого, потом суммы фиксированного числа, потом по этому числу усреднить с пуассоновскими весами. Ниоткуда $\varphi(s)$ брать не надо, это производящая функция моментов (или х.ф. - смотря что имеется в виду изначально) одной величины $X_1$.

[alisa-lebovski]

Цитата:

производящая функция моментов (или х.ф. - смотря что имеется в виду изначально)

Я так поняла, что тут все величины целочисленные, так что это просто производящие функции.

Цитата:

Как получить ту же $\varphi(s)$?

Если речь о том, как для конкретной $\varphi_M$ проверить, представляется ли она в таком виде и найти соответствующую $\varphi$, то это уже совсем другой вопрос.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #389852 писал(а):

Цитата:

производящая функция моментов (или х.ф. - смотря что имеется в виду изначально)

Я так поняла, что тут все величины целочисленные, так что это просто производящие функции.

Нет, конечно. Это либо производящие функции моментов, либо характеристические функции. А целочисленность слагаемых тут совершенно ни к чему, и в определении сложного пуассоновского распределения никогда отдельно не выделяется.

[alisa-lebovski]

Я нашла эту книжку и это место в ней (лемма 2.1.1, с.87),
там действительно речь идет о целочисленных $M$.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #389903 писал(а):

Я нашла эту книжку и это место в ней (лемма 2.1.1, с.87),
там действительно речь идет о целочисленных $M$.

Бывает же :) Ну без разницы, формула всё равно одна и та же.

[Nimza]

Спасибо, осознал: $M$ совпадает по распределению с $S_{N} = \sum\limits_{n=1}^{N} X_{i}$, $N \sim Pois(\lambda)$, а значит их производящие функции совпадают, а для производящей функции $S_{N}$ можно сделать то, о чём Вы говорили:

$$ \varphi_{S_{N}}(s) = \mathbb{E} s^{S_{N}} = \mathbb{E} s^{\sum\limits_{n=1}^{N} X_{n}} = \\ \mathbb{E} \mathbb{E} \left( s^{\sum\limits_{n=1}^{N} X_{n} } | N \right) = \mathbb{E} \left( \mathbb{E} s^{X_{1}} \right) ^ {N} = \mathbb{E} \left( \varphi (s) \right) ^ {N} = \varphi_{N}(\varphi(s))$$