Доказать

[Иван_85]

Пусть $f:X\to Y,\;\; B\subset Y$
Доказать $f(f^{-1}(B))\subset B$.
$y\in f(f^{-1}(B))\Rightarrow (y\in Y \wedge \exists x(x\in f^{-1}(B)\wedge y=f(x)))\Rightarrow\\ \Rightarrow (y\in Y \wedge \exists x(x\in X \wedge f(x)\in B\wedge y=f(x)))\Rightarrow\\ \Rightarrow (y\in Y \wedge \exists x(x\in X \wedge y\in B))\Rightarrow ...$
А вот что дальше делать не соображу.

[Joker_vD]

$... \Rightarrow y \in B$. У вас под $\exists x$ стоит не зависящее от $x$ выражение, вытягивайте его оттуда.

[Padawan]

Даже точнее $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$