Предел последовательности дискретных функций распределения

[undeddy]

Такая задача.

Задана возрастающая числовая последовательность $\{x_n\}_{n=1} ^{\infty}$ и последовательность дискретных функций распределения $F_n$. На каждом интервале $(\frac{x_{k-1}}{x_n},\frac{x_{k}}{x_n}]$,$ k=2,...,n, F_n={(\frac{x_{k}}{x_n})}^\alpha, 0<\alpha<1$; $F_n=0$ на $(-\infty,\frac{x_{1}}{x_n}]$ и $F_n=1$ на $(1,\infty)$.

Можно ли найти для произвольного $a$ предел $\lim\limits_{n\to\infty}F_n(a)$?

Не совсем понимаю, может ли пределом дискретных функций распределения быть непрерывная..

[Gortaur]

Ну, если Вы рассмотрите приближения $a$ через $\frac{x_k}{x_n}$, то что получится?
Если брать $\frac{x'(n)}{x_n}\leq a< \frac{x''(n)}{x_n}$, где $x'(n),x''(n)$ - всегда два соседние члена последовательности, то $(\frac{x'(n)}{x_n})^\alpha \leq F_n(a) \leq (\frac{x''(n)}{x_n})^\alpha$.
Если граничные последовательности сходятся, то сходится и последовательность внутри. К чему - думаю, к $a^\alpha$, но неплохо бы проверить (разумеется я имею ввиду $a\in(0,1)$).

[alisa-lebovski]

Цитата:

Не совсем понимаю, может ли пределом дискретных функций распределения быть непрерывная..

В смысле поточечной сходимости - конечно, может.
Тому пример - центральная предельная теорема.

[Henrylee]

В смысле равномерной тоже может.
Пример тот же, ЦПТ..

[alisa-lebovski]

Кстати, тут для получения в пределе непрерывного (степенного) распределения нужно дополнительное условие, чтобы последовательность $x_n$ не росла слишком быстро. А именно, нужно, чтобы отношение соседних членов последовательности стремилось к единице. Иначе между точками будут возникать "зазоры".

[undeddy]

Т.е. если отношение соседних членов стремится, к примеру, к $1+\epsilon$, то в пределе нужную функцию распределения мы уже не получим?

[alisa-lebovski]

Да, тогда в пределе множество точек вида $x_k/x_n$, $1\le k\le n$ сходится к множеству точек геометрической прогрессии $(1+\epsilon)^{-m}$, $m\ge 0$, так что предельная функция получится дискретной. Аналогично будет при любом конечном пределе отношения.

[undeddy]

А можно ли тогда аналитически найти мат. ожидание предельного распределения?

[alisa-lebovski]

Можно, как сумму ряда.
Точки геометрической прогрессии будут значениями предельной случайной величины.

А вообще, если вам нужно мат.ожидание, его можно найти и для исходной функции распределения по формуле M\xi=\int_0^1(1-F(x))\,dx,$ а потом перейти к пределу. Это работает независимо от того, равен предел отношения единице или нет.