Характеристические функции

[Niclax]

Расскладываю в ряд:

$e^{\cos{t}-1}=\frac{1}{e}(1+\cos{t}+\frac{1}{2}\cos^2{t}+...)$

А дальше что? Косинусы через экспоненты выражать?

[alisa-lebovski]

Достаточно выразить один косинус как характеристическую функцию случайной величины.
Степень косинуса соответствует сумме соответствующего числа таких случайных величин.
Взвешенная сумма степеней соответствует взятию случайного числа слагаемых.

[Niclax]

$\cos{t}=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$
$\cos^n{t}=\frac{1}{2^n}(e^{it}+e^{-it})^n=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^n C_n^k e^{itk}e^{-it(n-k)}=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^n C_n^k e^{it(2k-n)}$

ужас какой-то...
Даже не представляю как тут сумму всех коэффициентов посчитать.

[alisa-lebovski]

Да зачем считать?
Вопрос был в том, чтобы доказать, что речь идет о характеристической функции какой-то случайной величины. Или вам нужно найти в явном виде распределение, соответствующее этой характеристической функции?

[Niclax]

А вдруг их сумма больше единицы!

Да и распределение найти тоже было бы неплохо.

[alisa-lebovski]

Что сумма биномиальных коэффициентов равна $2^n$, это классический результат. Тут скорее важно проверить сумму коэффициентов при степенях косинусов.

[Niclax]

При степенях косинусов сумма, очевидно, равна e. А вот с "цэшками" как-то не очень ясно.

[alisa-lebovski]

Цитата:

А вот с "цэшками" как-то не очень ясно.

Возьмите формулу бинома Ньютона и подставьте в нее пару единиц.

[Niclax]

Да не, я в другом месте тупил Теперь понял. Спасибо большое!

[Niclax]

Оказывается, всё намного проще:

$e^{\cos{t}-1}=e^{\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}-1}=e^{\frac{1}{2}(e^{it}-1)}e^{\frac{1}{2}(e^{-it}-1)}$