Доказать что самосопряженный оператор тождественный 0

[zluka]

Что-то у меня уже долго не получается решить задачку которая с виду кажется очень просто
a-самосопряженный оператор (на евклидовом или унитарном пространстве)
Доказать, что если
Для любого х (a(x),x)=0
то a(x)=0 для любого x...

[Bulinator]

Что такое самосопряженный оператор?

[zluka]

Это значит что
что а совпадает со своим сопряжением или
(a(u),v)=(u,a(v)) видимо

[Bulinator]

Пусть наше прстранство- пространство двумерных векторов на плоскости $\mathbb{R}^2$ с нормой
$|\vec{x}|=\sqrt{\vec{x}\vec{x}}$
А оператор $a=\vec{n}_z\times.$.
$\vec{n}_z$-единичный вектор перпендикулярный плоскости.
Очевидно, что этот оператор самосопряжен
$\vec{x}(\vec{n}_z\times \vec{y})=(\vec{n}_z\times\vec{x})\vec{y}$.
Но
$\vec{x}(\vec{n}_z\times \vec{x})=0,\quad \forall\vec{x}$

[zluka]

$\vec{x}(\vec{n}_z\times \vec{x})=0,\quad \forall\vec{x}$
С чего бы это?

-- Пт дек 17, 2010 21:59:17 --
Опаньки...
Так у вас a(x)=0 для всех х)

[Bulinator]

zluka в сообщении #388511 писал(а):

$\vec{x}(\vec{n}_z\times \vec{x})=0,\quad \forall\vec{x}$
С чего бы это?

От того, что $(\vec{n}_z\times \vec{x})$ перпендикудярно$\vec{x}$.

Bulinator в сообщении #388510 писал(а):

Пусть наше прстранство- пространство двумерных векторов на плоскости $\mathbb{R}^2$ с нормой
$|\vec{x}|=\sqrt{\vec{x}\vec{x}}$
А оператор $a=\vec{n}_z\times.$.
$\vec{n}_z$-единичный вектор перпендикулярный плоскости.
Очевидно, что этот оператор самосопряжен
$\vec{x}(\vec{n}_z\times \vec{y})=(\vec{n}_z\times\vec{x})\vec{y}$.
Но
$\vec{x}(\vec{n}_z\times \vec{x})=0,\quad \forall\vec{x}$

Пропустите это. Я ляпнул.

[paha]

zluka в сообщении #388498 писал(а):

a-самосопряженный оператор

за что мы любим с/с операторы?

[zluka]

Второй курс не спрашивают кого любить)
Кажется есть такая мысля:
1)t - собственное число v- cоотв соб вектор
тогда (a(v),v)=t(v,v)=>t=0;
вроде была такая теорема что все нормальные операторы диагонализуемы и на диагонали стоят собственные числа
значит у оператора а просто нулевая м-ца значит он нулевой. Я нигде не наврал?

[мат-ламер]

Была здесь эта задача. Попробуйте воспользоваться поляризационным тождеством.

[ewert]

А идея задачки, скорее всего, была такова.

Рассмотрим $(A(x+y),(x+y)=(Ax,x)+(Ay,y)+2(Ax,y)$. Если это всегда ноль, то и $(Ax,y)$ тоже всегда ноль, из чего естественно следует $A=0$.

Это -- в вещественном (т.е. евклидовом) пр-ве. А если в комплексном (т.е. унитарном) -- то там чуть сложнее, т.к. в перекрёстном произведении возникает вещественная часть, но с этим легко справиться, домножая одно из слагаемых на число, по модулю равное единице.

А пафос в том, что всё это работает вовсе не только в конечномерных пространствах.

[paha]

zluka в сообщении #388523 писал(а):

вроде была такая теорема что все нормальные операторы диагонализуемы и на диагонали стоят собственные числа

лучше сказать так: каков бы ни был самосопряженный оператор найдется ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов

ну да, все правильно

-- Пт дек 17, 2010 21:13:31 --

мат-ламер в сообщении #388525 писал(а):

Была здесь эта задача. Попробуйте воспользоваться поляризационным тождеством.

уже решили)

[zluka]

Для поляриз. нужна вроде как обратимость?

[paha]

zluka в сообщении #388530 писал(а):

Для поляриз. нужна вроде как обратимость?

обратимость 2 в $\mathbb{R}$ -- это то, что ewert
написал