Найти оригинал по изображению.

[Sverest]

Используя свойства преобразования Лапласа найти оригинал по изображению (это операционное исчисление)

$F(p)=\frac{p}{p^2-2p+5}~~ ~~~~~~~ \frac{p}{p^2-2p+5} ={\frac p 2}\cdot{\frac{2}{(p-1)^2+2^2 } }~~~~~~ \frac {2}{(p-1)^2+2^2 }\doteq e^t \sin 2t$
Как дальше решать?

[zhoraster]

$G(p)=\frac {1}{(p-1)^2+2^2 }\doteq \frac{1}{2}e^t \sin 2t=g(t)$
$pG(p)-g(0)\doteq\dots$

[Sverest]

$g(0)=\frac 12 \cdot e^0 sin (2 \cdot 0)=0$



$pG(p)-g(0)\doteq g'(t)$

$\frac {p}{(p-1)^2+2^2 }\doteq (\frac{1}{2}e^t \sin 2t)'$

$(\frac{1}{2}e^t \sin 2t)'=\frac 1 2((e^t)' \cdot sin (2t)+e^t (sin (2t))')=\frac 1 2(e^t \cdot sin (2t)+e^t \cdot 2\cdot cos (2t))=$

$=\frac 1 2 \cdot e^t ( sin (2t)+ 2\cdot cos (2t))$

Значит искомый оригинал $\frac 1 2 \cdot e^t ( sin (2t)+ 2\cdot cos (2t))$
Выражение в скобках вроде больше упростить нельзя
Спасибо за помошь!

[ewert]

Ну вы тут все даёте.

$\dfrac{p}{p^2-2p+5}=\dfrac{p}{(p-1)^2+4}=\dfrac{p-1}{(p-1)^2+4}+\dfrac{1}{(p-1)^2+4},$

что тупо по табличке плюс теорема затухания восстанавливается как $e^t\cos2t+{1\over2}e^t\sin2t$. Это же шаблон.

[zhoraster]

Тупо по табличке и шаблон -- это не интересно