Компактный оператор, функциональный анализ

[T-Mac]

Добрый вечер!
Никак не могу решить следующую задачу:
$U: l_p \to C([0;1])$ непрерывный оператор
$U: l_p \to L_p((0;1)) $ Является ли этот оператор компактным?

Появились соображения на счет задачи....
есть свойство: если $A$-компактный, $B$-ограниченный, то $AB$ и $BA$ -компактны
в качестве $B$ возьмем оператор $U$, только надо найти компактный оператор из $C([0;1])$ в $L_p((0;1))$...

[zhoraster]

Тож....й?

[neo66]

Условие непонятно.

[T-Mac]

тождественный вроде не годиться, мне же нужен оператор который переводит, непрерывную на отрезке функцию в функцию из $L_p$

[Dan B-Yallay]

А чем именно тождественный не подходит? Любая непрерывная на отрезке функция все равно лежит в $L_p$

[T-Mac]

тогда получается задача решена?)

[Dan B-Yallay]

Решена, если вы можете показать компактность тождественного оператора (на указанных пространствах.)

[T-Mac]

прочитал только что:"Тождественный оператор компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен"
получается что этот оператор некомпактен...значит этот метод решения не годится...

[sup]

Ну вот и ключ к одному из возможных решений. Чтобы построить контрпример, надо найти бесконечномерное подпространство в $L_p(0,1)$ непрерывных функций, на котором нормы в $L_p(0,1)$ и $C[0,1]$ эквивалентны. Тогда на этом подпространстве тождественный оператор некомпактен. После чего организовать продолжение этого оператора на все пространство (например, с помощью проектора).

[T-Mac]

а проще никак нельзя найти контрпример?

[sup]

Ну можно попробовать в лоб построить контрпример. Например взять оператор свертки с какой нибудь функцией. Идея такая, что свертка эквивалентна умножению на функцию для Фурье-образов. А этот оператор уж точно некомпактный. Так может даже и проще.

[T-Mac]

Я изначально писал правильно но во всех моих постах исправлено почему то $l_p$ на $L_p$

[sup]

У меня такое ощущение, что в задаче проблемы с точной формулировкой. Сначало было $l_p$, потом стало $L_p$. Кроме того, не очень ясно, речь идет о произвольных операторах или только линейных. Для линейных операторов, при всей "очевидности", задача, похоже, не слишком проста.
Можно, конечно, вспомнить, что $C[0,1]$ - универсальное пр-во (в классе сепарабельных). В данном случае это означает, что в $C[0,1]$ имеется подпространство изометричное $l_p$ (или, если надо, то $L_p(0,1)$). Но это как то тяжеловесно.

[T-Mac]

про линейность оператора в задаче не указано
оператор $U: l_p -> L_p$
задача не должна быть сложной, ноя уже несколько дней над ней думаю и пока
толком не понял...
$U$ -получается не компактен?

[sup]

Ну конечно есть и компактные. Например тождественный 0. Но, в общем случае нет. Я уже упоминал универсальность $C[0,1]$, но это слишком сложно. А вот с нелинейными операторами существенно проще. Например, пусть $x \in l_p, x=(x_1,x_2, ...)$. Положим $Ux=\sum x_k^psin(kx)$.
Покажите, что этот оператор непрерывен, и образ единичного шара в $l_p$ бесконечномерный.