Критерий Коши для предела по базе

[Padawan]

В учебнике Архипов, Садовничий, Чубариков "Лекции по математическому анализу" обратил внимание на не очень хорошее доказательство критерия Коши для предела по базе. В части достаточности полторы страницы занимает. Кому интересно, посмотрите.
А ведь можно проще и общее доказать.
Для каждого $n=1,2,\ldots$ найдем окончание $b_n$, чтобы для всех $x',x''$ было $|f(x')-f(x'')|<\frac{1}{n}$ и в каждом выберем по точке $x_n\in b_n$. Учитывая, что $b_n\cap b_m\neq\varnothing$, сразу проверяется, что $\{f(x_n)\}$ фундаментальна. По критерию Коши для последовательностей (он уже до этого у них доказан) существует предел $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=A$. Сразу проверяется, что и $\lim_B f(x)=A$.
Этот способ подходит для функций со значениями в полном метрическом пространстве.