Базис в линейном пространстве

[Yakov]

1) Как доказать, что два любых базиса в линейном пространстве (не обязательно счётных) равномощны?
Достаточно доказать, что существует взаимно однозначное отображение первого из них на подмножество другого.
Что для этого нужно?

2) Пусть $f, f_1, \ldots, f_n$ --- линейные функционалы на линейном пространстве $L$ , такие что
$ Ker \, f_1 \bigcap Ker \, f_2 \bigcap \ldots \bigcap Ker \, f_n \subset Ker \, f $.

Требуется доказать, что
$\exists a_1, \ldots, a_n : \quad f(x) = \sum_{k = 1}^n a_k f_k (x) \quad \forall x \in L$.

[moscwicz]

по пункту 2)
Рассмотрите отображение $F:L\to \mathbb{R}^n,\quad F(x)=(f_1,\ldots,f_n)(x)$. Проверьте, что при указанных условиях корректоно определен оператор $A:F(L)\to \mathbb{R}$ такой, что $AF=f$

[Yakov]

А как построить оператор $A$ или доказать, что он существует?
Для чего вообще рассматривать эту вектор-функцию $F(x) = \left( f_1 (x), \ldots, f_n (x) \right)$?

[moscwicz]

Пусть $x\in F(L)$. Тогда найдется $y\in L$ такой, что $F(y)=x$. Определим оператор $A$ формулой $Ax=f(y)$. Докажите, что этот оператор определен корректно

[Yakov]

Какую корректность надо проверять?

[Yakov]

А, понятно. Просто из условия на ядра следует, что отображение f(x) пропускается через F(x).