|
I.Bush
G.Bush
Спектрально-корреляционный метод обнаружения сигналов
Несмотря на развитие научных методов обнаружения радиотехнических сигналов в смеси сигнала и помехи эта проблема не может считаться решенной до настоящего времени.
Процедуры обнаружения сигналов Неймана-Пирсона и Вальда основаны на использовании математического аппарата, основанный на такой характеристике сигнала, как его амплитуда. Сравнивая отношение правдоподобия с вычисленным порогом, как это происходит в процедуре Неймана-Пирсона или с двумя порогами, как это происходит и процедуре Вальда, см.например [Лекция: Последовательные правила обнаружения Википедия] принимается решение о наличии или либо об отсутствии сигнала. Для расчета этих порогов задаются вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги.
Отметим, что эти процедуры работают только для стационарных процессов.
Адаптивный фильтр Калмана позволяет учесть нестационарность, не меняя сути процедур.
Встает вопрос: можно ли выбрать другие характеристики сигнала, по которым его можно обнаружит не только в нестационарном процессе, но и при интенсивной помехе ?
Рассмотрим возможность применения такой характеристики сигнала и помехи, как их спектр.
Несмотря на ясный физический смысл понятия спектр, хотя бы на примере спектра радуги [Гущин Д. Д. Что мы видим, когда смотрим на радугу, и как мы слышим звук Википедия], существует ошибочное мнение о том, что спектр описывается преобразованием Фурье, хотя это преобразование дает такую характеристику сигнала, как спектральная плотность сигнала.
Определим спектр сигнала в виде следующего ряда:
N
Sp(∆t•n) = ∑Um(n) (1)
n=1
где:
Sp(∆t•n) – дискретные отсчеты спектра сигнала,
∆t•n – дискретные моменты времени,
∆t – шаг дискретного временного отсчета,
n – номер дискретного момента времени,
N – количество членов ряда,
Um(n) – амплитуда Um n-гармоники сигнала.
Для спектра помехи этот ряд запишется в виде:
N
Sp(∆t•n) = ∑σn(n) (2)
n=1
где:
σn(n) – дисперсия σn n-ой гармоники помехи.
Отметим, что частота спектральных отсчетов определяется частотой гармоник сигнала fn = 1/∆t•n.
По-существу выражение (1) определяет разложение функции в ряд, типа ряда Фурье. Однако, если в ряде Фурье даже при бесконечном числе его членов возникает ошибка в точности определения значения функции, вызванная явлением Гиббса см., например [Сходимость рядов Фурье Википедия], то ряд (1) позволяет вычалить точное значение функции при конечном числе его членов.
Спектр идеальной широкополосной помехи и спектр сигнала в виде прямоугольного импульса запишется в виде:
N
Sp(∆t•n) = ∑[σn(n) + Um(n)] (3)
n=1
Отношение спектра аддитивной смеси помехи и сигнала к спектру помехи равно:
N
K = ∑[Um(n) + σn(n)]/Um(n) (4)
n=1
При отсутствии помехи выражение (4) примет минимальное значение:
Kmin = 1 (5)
Теперь решающее правило можно сформулировать следующим обрезом:
Если K > 1, то принимается решение о наличие сигнала, в противном случае об его отсутствии.
Другие характеристики сигнала, которую следует принять во внимание, это автокорреляционная функция.
Автокорреляционная функция сигнала имеет вид:
N
Ψu(∆t•n) =•∆t•ΣU(∆t•n)•U[(∆t+∆τ)•n] (3)
n=1
где:
Ψu(∆t•n) – отсчеты автокорреляционной функции сигнала,
∆t•n – дискретные моменты времени,
∆t – шаг временного дискрета,
∆τ – шаг временного сдвига сигнала,
U(∆t•n) – отсчеты сигнала в моменты времени ∆t•n,
U[(∆t+∆τ)•n] – отчеты сигнала в моменты времени (∆t+∆τ)•n.
Для сигнала, имеющего форму прямоугольного импульса высотой E автокорреляционная функция примет вид:
Ψu(∆t•n) = ∆τ•E^2 (4)
Для помехи типа белого шума с дисперсией σ автокорреляционная функция запишется как;
Ψu(∆t•n) = ∆t•σ2 (5)
Автокорреляционная функция помехи имеет следующий вид:
N
Ψv(∆t•n) = ∆t•ΣV(∆t•n)•V[(∆t+∆τ)•n] (6)
n=1
где:
Ψv(∆t•n) – отсчеты автокорреляционной функции помехи,
V(∆t•n) – отсчеты помехи в моменты времени ∆t•n,
V[(∆t+∆τ)•n] – отсчеты помехи в моменты времени (∆t+∆τ)•n.
Символом ‘U’ обозначен сигнал, а символом ‘V’ обозначена
помеха.
Коэффициент отношение автокорреляционной функции помехи к автокорреляционной функции сигнала равен:
K = V[(∆t+∆τ)•N]/U[(∆t+∆τ)•N] (7)
Для сигнала, имеющего форму прямоугольного импульса амплитудой E и помехи с дисперсией σ коэффициент отношения примет вид:
K = (σ/E)^2 (8)
Коэффициент отношения не зависит от времени его вычисления.
Невероятно, но факт: слабый сигнал на фоне интенсивной помехи обнаружить проще, чем сильный.
Если принять во внимание, что обнаружение сигнала происходит на фоне внутреннего шума приемника, который имеет дисперсию σn и дискретизация сигнала происходит с дисперсией σd, которая определяется точностью представления вещественных чисел в конкретном вычислительном устройстве, то коэффициент отношения запишется в виде:
K= √(σd^2+σn^2)/(σd^2+E^2) (9)
При отсутствии помехи σn = 0 и коэффициент корреляции примет вид:
Kmin = σd/√(σd^2+E^2) (10)
Минимальное значение коэффициента корреляции может быть вычислено заранее, т.к. оно зависит только от технических характеристик устройства.
Решающее правило запишется в виде:
Если K > Kmin, то принимается решение о наличии сигнала в принятой смеси сигнала и помехи. В противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.
В принципе, для обнаружения сигнала на фоне интенсивной помехи достаточно использовать отношение корреляции
Спектральный метод позволяет получить информацию об особенностях интенсивной помехи и, тем самым, провести идентификацию постановщиков активных помех.
906-269-5477 позывной Ingar
P.S. Ряд (1) в действительности представляет собой разложение своими отсчетами непрерывной функции в дискретные моменты времени ∆t•n, в то время, как теорема Котельникова [hw-nsk.ru-Курсовые-теорема Котельникова, ИКМ-сигналы Википедия] гласит: “Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть однозначно представлен (восстановлен) своими отсчетами взятыми через равные промежутки времени ∆t, длительность которых не превышает половины периода верхней частоты спектра fd ≥ 2fв”.
-- Чт дек 16, 2010 17:13:14 --
I.Bush
G.Bush
Сверхбыстрое преобразование Фурье
Преобразование Фурье до сих пор не имеет устойчивого описания. Представим спектральную плотность или спектральную характеристику непрерывного процесса (сигнала) U(t) в виде:
t2
S(ω) = ∫U(t)esp(-jωt)dt (1)
t1
где:
t1 – время качала наблюдения сигнала,
t2 – время окончания наблюдения сигнала,
ω – круговая частота,
J – мнимая единица.
Переходя от непрерывного времени к его дискретному аналогу, т.е. полагая t1 = 1 и t2 = N и от непрерывной частоте сигнала к ее дискретному эквиваленту, т.е. полагая ω = ∆ω•k, выражение (1) запишем в виде:
N
S(∆ω•k) = ∆t•∑U(∆t•n)esp(-j∆ω•k•∆t•n) (2)
n=1
где:
S(∆ω•k) – отсчеты спектральной плотности сигнала на частотах ∆ω•k,
∆t – шаг временного дискрета,
n – номер временного дискрета,
N – количество отсчетов дискретной выборки,
U(∆t•n) – отсчеты сигнала, соответствующе моментам времени ∆t•n,
∆ω – шаг кругового частотного дискрета,
k – номер частотного дискрета,
K – количество отсчетов дискретной спектральной плотности
сигнала.
Отметим, что выражение (2) является комплексной величиной. В модуль этого выражения входят квадраты двух тригонометрических функций, а именно: sin^2 и cos^2. При выполнении расчетов на вычислительной технике эти функции представляются в виде ряда, что требует значительного объема вычислений V, который пропорционален квадрату количества отсчетов дискретной выборки.
V ~ N^2 (2)
В статье двух авторов [Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey)] из Северных штатов Америки, опубликованной в 1965г. появилось предложение о сокращении объема вычислений дискретного преобразования Фурье, которое осуществляется путем деления исходной выборки пополам, причем каждый раз выборка сортируется по четным и нечетным частотам, что приводит к хорошо известной формуле определения объема вычислений для быстрого преобразования Фурье.
V ~ N•log2•N (3)
Однако, возможно рекуррентное представление тригонометрических функций [В.В. Быков Цифровое моделирование в статистической радиотехнике “Советское радио”, Москва 1971] в виде:
U1[∆t•(n+1)] = c•U1[∆t•n]+s•U2[∆t•n] (4)
U2[∆t•(n+1)] = c•U2[∆t•n]–s•U1[∆t•n] (5)
где:
s = sin(2π•∆f•k•∆t•n) (6) – константа.
с = cos(2π•∆f•k•∆t•n) (7) – константа.
где:
∆f – шаг частотного дискрета.
По теореме Котельникова [Теорема Котельникова Википедия] должно выполняться условие:
∆t < 1/2fmax (8)
Запишем (8) в виде:
∆t = 1/2f•p (9)
где:
p – положительное вещественное число > 1.
Тогда:
s = sin(π•k/p) (10)
c = cos(π•k/p) (11)
Полагая p = 2, получим:
s = 1 и c = 0
При этом объем вычислений V = 0.
При других значениях p функции sin и cos придется вычислить только один раз, если только они не имеют табличного значения.
К сожалению, сократить еще в большее количество раз объем вычислений пока не удается.
906-269-5477 позывной Ingar
-- Чт дек 16, 2010 17:14:10 --
I.Bush
G.Bush
Представление непрерывного сигнала в неравномерные
дискретные моменты времени конечным рядом
Теорема Котельникова [hw-nsk.ru - Курсовой проект - Теорема Котельникова, ИКМ – сигналы Википедия] гласит: “Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть однозначно представлен (восстановлен) своими отсчетами, взятыми через равные промежутки времени ∆t, длительность которых не превышает половины периода верхней частоты его спектра fд ≥ 2fв “ (1)
Отметим, что несмотря на присутствие в формулировке слов ‘не превышает’, в выражении (1) использован символ ‘≥’, тогда как эта запись должна иметь вид; fд > 2fв. (2)
Представим непрерывный сигнал U(t) как сумму отсчетов Um(n) в дискретные моменты времени ∆t•n следующим образом:
N
U(t) = ∑Um(∆t•n) (3)
n=1
По-существу, выражение (3), которое для краткости назовем ряд Bush, определяет разложение функции в ряд, типа ряда Фурье. Однако, если в ряде Фурье даже при бесконечном количестве членов возникает ошибка в определении значений функции U(t), вызванная явлением Гиббса [Математический анализ. Сходимость ряда Фурье Википедия], то ряд (3) дает точное значение непрерывной функции U(t) по отсчетам дискретной функции Um(∆t•n) в любые дискретные моменты времени (∆t•n) при конечном количестве его членов.
Кроме того, промежутки дискретного времени ∆t•n могут быть неравномерными.
Выражение (3) наглядно иллюстрируются рисунком.
На рисунке отсчеты непрерывной функции в неравномерные дискретные моменты времени ∆t 2∆t и 3∆t изображены сплошной жирной линией.
Несмотря на неравномерный шаг дискретизации n∆t, непрерывная функция U(t) представляется точно.
906-269-5477 позывной Ingar
-- Чт дек 16, 2010 17:14:51 --
l.Bush
G.Bush
Еще один вариант дискретного преобразования Фурье
Преобразование Фурье до настоящего времени не имеет общепринятого символьного описания, поэтому представим спектральную плотность непрерывного сигнала следующим образом:
N
S(∆ω•k) = ∆t∑U(∆t•n)esp(-j∆ω•k•∆t•n) (1)
n=1
где:
S(∆ω•k) – отсчеты спектральной плотности сигнала на частотах ∆ω•k.
∆t – шаг временного дискрета сигнала,
n – номер отсчета временного дискрета сигнала
N – количество отсчетов временной выборки сигнала,
U(∆t•n) – отсчеты сигнал, взятые в моменты времени ∆t•n,
∆ω – шаг частотного дискрета спектральной плотности сигнала.
k – номер частотного дискрета спектральной плотности сигнала,
K – количество отсчетов спектральной плотности сигнала,
j – коренль квадратный из минус единтцы.
Очевидно, что весь спектр сигнала представляет собой сумму комплексных значений S(∆ω•k) ,что можно записать как:
K
S(∆ω•k) = ∑S(∆ω•k) (2)
k=1
Следует отметить, что в ряде Фурье комплексная огибающая записана в комплексной области в виде суммы гармонических колебаний следующим образом:
U(∆t•n) = Um[cos(∆t•n) – jsin(∆t•n)] (3)
где:
Um – амплитуда гармонического колебания.
Очевидно, что модуль выражения(3) равен:
modU(∆t•n) = √[ReU(∆t•n)^2 + ImU(∆t•n)^2] (6)
По теореме Котельникова достаточно принять ∆t < 1/2f или, что то же самое ∆t < π/ω.
Тогда, принимая:
∆t = π/(p•ω),
где:
p – положительное вещественное число.
Тогда выражение (6) примет вид:
modU(∆t•n) = Um(n)√[cos2(π•p•n) + sin2(π•p•n)] (7)
где:
Um(n) – амплитуда Um n-ой гармоники сигнала.
или:
modU(∆t•n) = Um(n) (8)
Из выражения (8) следует, что, если временной дискрет для гармоники с наибольшей частотой выбран в соответствии с теоремой Котельникова, то амплитуда всех остальных гармоник будет определяться точно.
Представляется целесообразным представить правую часть выражения
(1) в виде модуля действительной функции, состоящей из слагаемых Um(n), а левую часть – так же в виде модуля спектральной плотности тогда:
N
modS(∆ω•k) = ∆t•∑Um(n) (9)
n=1
Выражение (9) представляет собой еще одну разновидность записи дискретного преобразования Фурье, но не для спектральной плотности сигнала, а для модуля спектральной плотности и предполагает представление гармоник их амплитудами в действительной области. В дальнейшем преобразование, определяемое выражением (9) будем для простоты называть преобразованием Bush.
Выражение (9) имеет следующую особенность:
В его правой части сигнал представляется через амплитуды Um n синусоидальных функций, а не через комплексные тригонометрические функции, как это принято в преобразовании Фурье или через сумму синусоидальной и косинусоидальной функций, как это принято в преобразовании Хартли [Рональд Н. Брейсуэлл Преобразование Фурье, Scientific American Издание на русском языке № 8 FDUECT 1989 c. 48–56. Википедия].
Следует отметить, что метод сокращения объема вычислений, изложенный в [I.Bush G.Bush Сверхбыстрое преобразование Фурье. Википедия.], остается справедливым и для преобразования Bush.
906-269-5477 позывной Ingar
|
16.12.2010, 16:11 
