Неравенство, элементарная математика.

[Doremi]

Учусь на 4ом курсе педагогического университета, по теории методики преподавания математики (ТИМОМ) задали решить несколько неравенств. Разобрался вроде со всеми, кроме этого, прошу помочь:

$2(a^3+b^3+c^3) \ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

Какие будут мысли по сему? раскрыть скобки и что-то сгруппировать не удалось, так что прежде чем советовать "на глаз", попрошу в начале все же удостоверится что всё сходится. Допускаю что тут какая то ошибка в самом примере

[zhoraster]

Тут пропущено, что числа неотрицательные. А так транснеравенство (= неравенство для упорядоченных наборов) два раза.

[Doremi]

А да, пропустил -> $a, b, c \ge 0$

И.. Что-что надо сделать? Как нить попроще объясните плиз

[Sasha2]

Начните с того, что перегруппируйте члены в правой части: а именно представьте ее как
$(a^2b+ab^2)+(b^2c+bc^2)+(c^2a+ca^2)$
Дальше уде все тривиально. Осталось представить левую часть как $(a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(c^3+a^3)$.
И AM-GM Вам в помощь хотя впрочем все и так слишклм тривиально.

[gris]

Это такое дурное неравенство (перестановочное), на котором основана целая куча задач. Так что лучше в нём разобраться.
А вот аналогичное неравенство для квадратов слева и первых степеней справа у Вас сомнений не вызывает?

[Sasha2]

Ну, по-моему перестановочное неравенство тут уж слишком мощное оружие. Это как из пушки по воробьям палить.
Слишком много чести для такого простенького неравенства.

[Doremi]

Цитата:

И AM-GM Вам в помощь хотя впрочем все и так слишклм тривиально.

Sasha2, a что такое AM-GM?

Цитата:

gris
Это такое дурное неравенство (перестановочное), на котором основана целая куча задач. Так что лучше в нём разобраться.
А вот аналогичное неравенство для квадратов слева и первых степеней справа у Вас сомнений не вызывает?

Это вы у меня спрашиваете? =)

[gris]

Ну да. Ведь очень похоже

$2(a+b+c) \ge a^0(b+c)+b^0(c+a)+c^0(a+b)$

$2(a^2+b^2+c^2) \ge a^1(b+c)+b^1(c+a)+c^1(a+b)$

и так далее...

[Sasha2]

Странно довольно таки доучиться до 4 курса в математическом вузе и такое справшивать.
Вообще то даже школьники знают, что AM-GM - это неравенство, гласящее что среднее арифметическое (AM - arithmetic mean) любого набора положительных чисел больше среднего геометрического (GM - geometric mean) этого же набора положительных чисел.

[Doremi]

2 Sasha2
Боюсь что такая аббревиатура как AM-GM - просто не очень популярна для такого определения, по крайней мере в кругу тех заведений где я учился. Поэтому я просто не могу знать что такое AM-GM..

Цитата:

Ну, по-моему перестановочное неравенство тут уж слишком мощное оружие. Это как из пушки по воробьям палить.

а как применить тут AM-GM не пользуясь при этом опять же всякими перестановками?

$(a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(c^3+a^3) \ge (a^2b+ab^2)+(b^2c+bc^2)+(c^2a+ca^2)$

[ИСН]

не хотите - не применяйте. тут уже просто: $a^3+b^3-(a^2b+ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)=\underbrace{(a-b)^2}_{\ge 0}\underbrace{(a+b)}_{\ge 0}$

[Sasha2]

Нет ну тут уж вообще все просто
Неужели невидно, что $(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2$.
И остальные соответственные члены аналогичным образом.
Ну в конце то концов, ну формулы сокращенного умножения должны же быть Вам знакомы.

[ИСН]

great minds think alike, ога.

[Doremi]

Цитата:

gris
Ну да. Ведь очень похоже

$2(a+b+c) \ge a^0(b+c)+b^0(c+a)+c^0(a+b)$

$2(a^2+b^2+c^2) \ge a^1(b+c)+b^1(c+a)+c^1(a+b)$

и так далее..

по первому получается:
$(a+b)+(b+c)+(c+a) = a^0(b+c)+b^0(c+a)+c^0(a+b)$

по второму уже нет:
$(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2) \ge 2ab+2bc+2ca $

и.. что то дальше я не пойму. (

По сути можно взять в корень обе части, и исходить из того что$ \sqrt{a^2+b^2} \ge \sqrt {2ab}$ и т.д, так как из AM-GM $(a+b)/2 > \sqrt{ab}$ , так? =)

===

Цитата:

Sasha2
Нет ну тут уж вообще все просто
. . .

Не очень понял ваш ответ. Я спрашивал как тут можно применить AM-GM ведь.

====

Всем огромное спасибо за ответы. очень помогли. Еще бы разобраться с AM-GM, но это не обязательно. Спасибо :)