Значения многочленов с малыми простыми делителями.

[Руст]

Рассмотрим неприводимый многочлен $f(n)=n^2+n+1$ с целыми коэффициентами.
1. Докажите, что существуют бесконечно много натуральных значений $n$, что все простые делители $f(n)$ меньше $n^{0.001}.$
2. Пусть $N(\epsilon,x)$ означает число таких $n\le x$ удовлетворяющих условию: все простые делители $f(n)$ меньше $n^{\epsilon}$. Докажите, что такие числа имеют положительную логарифмическую плотность, т.е. нижний предел от отношения $\frac{\log N(\epsilon , x)}{\log x}$ больше некоторого $\delta>0$.
3. Обладает ли этим свойством произвольный многочлен из $Z[x]$?

[age]

Руст
1. Это интересная задача (даже очень). я как-то пытался ее решить, но не вышло. Даже браться не буду, тут должен быть какой-то метод. (известно что все простые делители $n^2+n+1$ имеют форму $6k+1$).
3. Ну а это вообще что-то выдающееся (если ответ "да").

Интересные результаты, если вы их получили.

[Руст]

Ответа на пункт 3 я сам не знаю. Пункты 1 и 2 не очень сложные.

Подсказка. Мой метод работает для многочленов $\Phi_m(n+k)$. В нашем случае круговой многочлен с параметрами $k=0, m=3$. Используется еще расходимость ряда $\sum_p\frac 1p$ по простым числам.

[Null]

$\sum_{n=1}^{\infty}(M(P(n)))^{-l}$ -расходиться для любого $l\in \mathbb{N}$. Это правда?
$M(a)$ - наибольший простой делитель $a$.

[Mathusic]

Null в сообщении #390310 писал(а):

Это правда?

Нет. \Large $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{M(n)^s}},$ например, расходится $\forall s.$

[Null]

То что я и говорил.