Ряд Маклорена

[nevero]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с данным вопросом.
Необходимо разложить в ряд Маклорена следующую функцию:

$\frac{1}{1+x+x^2}$

Как разложить данную функцию через комплексные корни я знаю. Но этот метод не подходит...
Поэтому я пробовал иначе:

$\frac{1}{1+x+x^2} = \frac{1-x}{1-x^3} = (1-x)(1+x^3+x^6+ ... +x^{3n}+...)$

Но как получить из этого степенной ряд я никак не пойму...

[ИСН]

А скобки-то раскрыть если.

[nevero]

ИСН в сообщении #387110 писал(а):

А скобки-то раскрыть если.

$\frac{1}{1+x+x^2} = \frac{1-x}{1-x^3} = (1-x)(1+x^3+x^6+ ... +x^{3n}+...) = \sum_{n=0}^{+\infty}(x^{3n}-x^{3n+1})$

Но это не есть степенной ряд....

[ИСН]

А який же ж?

[nevero]

ИСН в сообщении #387118 писал(а):

А який же ж?

Нам дают теорию, что степенной ряд -- это ряд вида: $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$

Кроме того, исходная задача разложить в ряд Маклорена, поэтому должен быть чётко коэффициент при $x^n$ (по крайней мере, нам так преподают теорию).

К примеру, если раскладывать через комплексные корни, то получится следующее:

$\frac{1}{1+x+x^2} = \frac{2}{\sqrt 3}\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sin((n+1)\frac{2\pi}{3})$

[ИСН]

"Научитесь узнавать меня под другим именем", как говорил лев Аслан в третьей Нарнии.
Слабо разложить $x^{10}$ в ряд Маклорена?

[Gortaur]

Ну... Вы же знаете какие коэффициенты если показатель делится на 3 и если у него остаток 1 при этом делении. Что мешает записать Вам $a_{3n} = 1,a_{3n+1} = -1, a_{3n+2} = 0$ для $n = 0,1,2,...$ и

$$ \frac{1}{1+x+x^2} = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n. $$

Или записывать коэффициенты таким образом неприлично?

[nevero]

Мне надо разложить в ряд Маклорена другим способом. Иначе мне придётся доказывать всю теорию с комплексным переменным, которая была применена в разложении. Поэтому я как бы не знаю этого решения.
Но как это сделать - не знаю.

-- Вт дек 14, 2010 01:13:10 --

Даже, если раскладывать в ряд Маклорена и считать коэффициенты вручную (находить производные в точке) при $x^n$ получатся некоторые числа. Причём без синуса. Представляя функцию в каком-то другом виде и раскладывая её в этом виде мы, по сути, упрощаем себе задачу (не находим производные в точке).

Так может нужно сделать какую-то замену и разложить в таком виде?

Вроде, разложение функции в ряд единственно. Тогда не понятно как другим способом прийти к результату с синусами, котрый получился при комплексных корнях.

Я совсем потерялся... Помогите пожалуйста.

[ewert]

nevero в сообщении #387102 писал(а):

$\frac{1}{1+x+x^2} = \frac{1-x}{1-x^3} = (1-x)(1+x^3+x^6+ ... +x^{3n}+...)$

И это правда. А если теперь раскрыть первые скобки -- то получите разность двух рядов: из единички, умноженной на вторую скобку -- и из икса, умноженного на вторую же. А потом надо просто сгруппировать слагаемые естественным образом. Право на это Вы, разумеется, имеете: ведь частичные суммы получившегося ряда -- это просто разности частичных сумм вычитаемых рядов и, соотв., сходятся. Вот на это ИСН столь деликатно и назойливо Вам и намекает.

[Dan B-Yallay]

Ести прям так уж необходимо "по правилам", то разложИте в ряд Маклорена (c производными, коэффициентами, шахматами и поэтессами) функцию

$$y= \dfrac 1 {1-u}.$$

А потом сделайте замену $u= -x-x^2$.

(Оффтоп)

"И опять таки выйдете на Дерибасовскую." (с)

[Gortaur]

Вы написали эту дробь через произведение скобок (не исользуя ТФКП), затем чтобы раскрыть скобки тоже можно не использовать ТФКП. Если Вас не строит вид ряд после того, как Вы раскрыли скобки - напишите его в том виде, который я предложил, для этого не надо ни ТФКП, ни счета производных. Я, честное слово, не понимаю в чем проблема. Если есть вопросы - ставьте их корректно.