Исследовать интеграл на сходимость

[Sate]

$\int\limits_{0}^{\frac 2 {\sqrt {\pi}} } \sin {\frac 1 {x^2}} {\frac {dx} {x^3}}$
при исследовании вылазит предел
$\lim\limits_{x \to {+0}} \cos \frac{1}{x^2} $
и после взгляда на него вылазит вопрос: интеграл сходится только когда он является конечным числом? или же просто ограниченности достаточно?

[ewert]

Sate в сообщении #387034 писал(а):

и после взгляда на него вылазит вопрос: интеграл сходится только когда он является конечным числом? или же просто ограниченности достаточно?

Это вопрос вот о чём: Вы определение-то сходимости интеграла читали?...

[Sate]

когда-то давно на 1 курсе читал..
вроде как расходится в таком случае, но точно не помню..

[Gortaur]

К ограниченности - последовательность $(-1)^n$ ограничена? сходиться? нуу вот и не надо обвинять ограниченные интегралы в сходимости. И вообще, сделайте замену $y=\frac{1}{x^2}$ - тогда будет яснее с бесконечностью, к ней обычно подозрительнее относятся чем к конечным пределам интегрирования.

[ewert]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #387127 писал(а):

И вообще, сделайте замену $y=\frac{1}{x^2}$

да автор вообще-то именно её и сделал -- только не очень понял, зачем

[Gortaur]

(Оффтоп)

Я понимаю, что он её сделал - там другого и не вытащишь, но предел-то нулем остаться не мог.