Производные и неопределенные интегралы

[oohlala]

Помогите найти производные и вычислить неопределенные интегралы
$ 1)y=\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)}}\\ 2)y=\tg^{3}(x^2+1)\\ 3)y=2x^{\sqrt{x}}\\ 4)\int \frac{\sin(x)dx}{\sqrt[3]{\cos^{2}(x)}}\\ 5)\int x^2 \cos^{2}(x) dx\\ 6)\int \frac{(\sqrt[4]{x}+1)dx}{(\sqrt{x}+4)\sqrt[4]{x^3}}$
1)$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$?

[Gortaur]

1. - выглядит правильно, но лучше замените многоэтажную дробь на одно этажную - перенесите корень из числителя в знаменатель.
2. - смотрите примеры по производной сложной функции.
3. - то же самое, но перед этим кое-что прологарифмируйте.
4. думаю, универсальная замена через тангенс половинного угла
5. по частям попробуйте

[Mitrius_Math]

Gortaur в сообщении #387007 писал(а):

4. думаю, универсальная замена через тангенс половинного угла

$d(\cos x)=-\sin x dx$

[oohlala]

$5)\int x^2 \cos^{2}(x) dx$
если по частям, то будет выглядеть так
$u=x^2,du=2xdx,dv=cos^2(x)dx,v=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)$
$\int x^2 \cos^{2}(x) dx=\frac{x^2}{2}(x+sinxcosx)-\int(x+sinxcosx)xdx=..$???

[ИСН]

теперь ещё раз по частям.

(Оффтоп)

"Дурак твой геолог: смотри, опять к морю пришли!"

[oohlala]

$u=x^2,du=2xdx,dv=cos^2(x)dx,v=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)$
$\int x^2 \cos^{2}(x) dx=\frac{x^2}{2}(x+sinxcosx)-\int(x+sinxcosx)xdx
$u=x,du=dx,dv=x+sinxcosxdx,v=\frac{1}{2}(x^2-cos^2x)$
$$\int x^2 \cos^{2}(x) dx=\frac{x^2}{2}(x+sinxcosx)-\int(x+sinxcosx)xdx=\frac{x}{2}(x^2-cos^2(x))-\frac{1}{2}\int( x^2-cos^2x)=\frac{x}{2}(x^2-cos^2x)-\frac{1}{2}(x^3-3sinx)=$
так?

[ИСН]

Производные брать умеете?
Это умение можно неким образом применить для проверки ответа.

[oohlala]

умею,а как проверять то

[maxmatem]

oohlala
Ну вспомните определение первообразной.

[Padawan]

(Оффтоп)

oohlala в сообщении #387447 писал(а):

$5)\int x^2 \cos^{2}(x) dx$
если по частям, то будет выглядеть так
$u=x^2,du=2xdx,dv=cos^2(x)dx,v=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)$
$\int x^2 \cos^{2}(x) dx=\frac{x^2}{2}(x+sinxcosx)-\int(x+sinxcosx)xdx=..$???

Вообще никогда не понимал этих $u=\ldots, du=\ldots, v=\ldots, dv=\ldots$. Зачем это вообще, кто-нибудь может объяснить? Всегда интегрирую так (простой пример)
$\int xe^x dx=\int x de^x=xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+C$

[maxmatem]

Padawan

Цитата:

Зачем это вообще, кто-нибудь может объяснить?

Ну как зачем, ведь, когда первокурсникам объясняют метод интегрирования по частям, то в большинстве учебников приводят именно эту схему. Кстати , чем она вам не нравиться?

[oohlala]

$3)y=2x^{\sqrt{x}}\\ y'=2e^{\sqrt{x}lnx}=2e^{\sqrt{x}lnx}\cdot (\sqrt{x}lnx)'=2e^{\sqrt{x}lnx}\cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}lnx=e^{\sqrt{x}lnx}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot ln x=\frac{x^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\cdot ln x$
Верно?

[ИСН]

$(\sqrt{x}lnx)'=$
с этого места поподробнее, плиз.

[oohlala]

ИСН в сообщении #387570 писал(а):

$(\sqrt{x}lnx)'=$
с этого места поподробнее, плиз.

$(\sqrt{x}lnx)'=(\sqrt{x})'lnx+\sqrt{x}(lnx)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}lnx+\frac{\sqrt{x}}{x}$

-- Вт дек 14, 2010 23:43:53 --

так?

-- Вт дек 14, 2010 23:58:52 --

$y'=2e^{\sqrt{x}lnx}=2e^{\sqrt{x}lnx}\cdot (\sqrt{x}lnx)'=e^{\sqrt{x}lnx}\cdot \frac{lnx}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=x^{\sqrt{x}}\cdot\frac{lnx}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x} $
окончательно так выходит