Степенные уравнения

[bigarcus]

Извините, чего-то не получилось у меня найти в интернете:
Что за вид такой уравнений - степенные уравнения?

Можно пример, пожалуйста.

Какие существуют методы решения?

...насколько я интуитивно представляю, например, следующее уравнение является степенным: $5^x=3^x+2$.
Правильно? А как решать?

[Алексей К.]

$\underbrace{5^x-3^x}_{f(x)}=2.$
Такие уравнения обычно не решаются аналитически.
В данном случае фишка в том, что корень находится легко глазками.
Дальше остаётся доказать, что он единственен:

• при $x\le 0$ решений нет, т.к. ...
• при $x>0$ $f(x)=2$ может случиться лишь один раз, т.к. ...
• стало быть, других корней нет.

Заполнение многоточий оставил Вам, дабы не нарушать правила. Не сумеете --- подскажем.

[caxap]

bigarcus в сообщении #386712 писал(а):

следующее уравнение является степенным: $5^x=3^x+2$.

По-моему, такие уравнения называются показательными. А степенные -- это когда $x$ в основании.
В этом уравнении один корень легко угадать, но надо ещё доказать, что других нет (часто в этом помогает монотонность: если с одной стороны возрастающая функция, а с другой -- убывающая, то пересекаться они могут только в одной точке). Если основания в таких уравнениях хорошо подобраны, типа $2^x$, $8^x$..., то можно свести к уравнению относительно $y=2^x$.

Рекомендую Ткачук "Математика абитуриенту".

[bigarcus]

Простите, я числа от балды писал
И так уж вышло, что $x=1$ 'виден'.

А хотел я именно просто показать какой вид, как мне кажется, имеют уравнения, называемые степенными. Пример, что ли. Ну что же, это действительно, судя по всему, показательное уравнение.

А, степенные, значит - вида $x^3+x^2=5$ ?
Как решать-то? $\log$?

[Sonic86]

Ну если уравнение вида $x^a=b$, то извлечением корня, а в случае $x^3+x^2=5$ все гораздо хуже - корни надо подбирать и потом тоже либо доказывать, что других корней нет из соображения роста функции на разных интервалах, либо делить на одночлены $x-r$, где $r$ корень - степень немного уменьшиться и уже там дальше мучится.