Континуум-гипотеза для бесконечных путей в деревьях

[Гость]

Помогите решить задачу. Есть корневое дерево (бесконечное), у каждой вершины не более, чем счетное число сыновей. Доказать, что для множества бесконечных путей, идущих из вершины (несамопересекающихся) верна континуум-гипотеза: его мощность либо конечна, либо счетна, либо равна континууму.

[Николай]

А какая ещё бывает мощность у множеств

[Гость]

Континуум-гипотеза говорит, что никаких больше (в пределах континуума) не бывает. Но бывают ли на самом деле, на данный момент не известно.

[Гость]

Но пути в деревьях - это совсем не любое множество. Например, оно замкнуто относительно предельного перехода. Интересно бы для таких множеств доказать, что они не могут быть промежуточной мощности.

[Dan_Te]

Уважаемые гости, если вы не регистрируетесь, то не могли бы вы хотя бы представляться?
В данной ветке три сообщения под гостем. Не очень понятно, сколько именно человек написали эти сообщения.

Задача хорошая. Вроде так и есть, но доказать пока не получается.

[SergeyXXX]

Все три сообщения написал один человек, и этот человек - я.

[tsoka]

Отличная, великолепная задача. Надо будет подумать на досуге.

зы: у меня подозрение, что она - задача - носит чье-то имя. Смутно вспоминаю что-то.

[SergeyXXX]

Вопрос снят.

http://www.cmc-online.ru/forum/study/?s ... w&msg=4099

[Dan_Te]

Да, похоже на правду.

У меня тоже была идея радикальной чистки дерева, но я остановился на удалении всех конечных и линейных поддеревьев.

[Padawan]

Очень интересная задача!

Будем смотреть на дерево, как на упорядоченную пару множеств T=(V,E) V-множество вершин, E-множество рёбер. Для удобства пару (пустое мн-во, пустое мн-во) тоже будем считать деревом (пустым деревом).
Пересечением произвольной системы деревьев T_i=(V_i,E_i) назовём пару (П V_i,П E_i).(П-пересечение).
Как нетрудно проверить, пересечение деревьев, являющихся поддеревом какого-то фиксированного дерева, есть его же поддерево.

Сначала заметим, что множество вершин нашего дерева не более чем счётно.

Определим процедуру "обрезания прямых веток" - переход от дерева к некоторому его поддереву.
Это поддерево получается из исходного путём выкидывания всех вершин, через которые проходит только один путь, и всех прилегающих к этим вершинам рёбер.

Рассмотрим трансфинитную последовательность деревьев T_0,T_1,...,T_a,..., a<OMEGA где OMEGA-первое несчётное порядковое число (мощности алеф1). В этой последовательности T_0-наше исходное дерево, а дерево с индексом 0<b<OMEGA получается путём обрезания прямых веток у дерева, яляющегося персечением всех деревьев с меньшими индексами.

Возможны два варианта
1) все деревья в этой последовательности непустые.
2) начиная с некоторого порядкового числа b<OMEGA все они пустые.

В первом случае существует такое порядковое число b<OMEGA, что все деревья после этого номера
совпадают. В самом деле, если бы на каждом шаге мы бы выкидывали по крайней мере по одной вершине, то их в исходном дереве было бы не менее алеф1, а их счётно. Но что значит, что процедура обрезания веток не меняеет дерева? Это значит, что число путей >=2^алеф0=континуум.

Во втором случае путей вообще нет.

Учитывая, что мы потеряли при обрезании веток не более счётного числа путей (на каждом шаге не более чем счётное *не более чем счётное число шагов до номера b), получим, что
в первом варианте их было континуум, а во втором-не более чем счётное число.

[x0rr]

а как выглядит алеф в транскрипции тега math?
а сколько всегда существует алефов, разве существовует множество, мощность которого строго больше алефа1 и строго меньше континуума?

[Someone]

x0rr писал(а):

а как выглядит алеф в транскрипции тега math?
а сколько всегда существует алефов, разве существовует множество, мощность которого строго больше алефа1 и строго меньше континуума?

$\aleph$=\aleph

Алефов существует бесконечно много - так много, что не существует множества всех алефов (как и множества всех множеств).

Известны неравенства $\aleph_0<\aleph_1\leqslant\mathfrac c=2^{\aleph_0}$, причём, возможно как равенство $\aleph_1=\mathfrac c$ (континуум-гипотеза $[CH]$), так и неравенство $\aleph_1<\mathfrac c$ (отрицание континуум-гипотезы $[\neg CH]$). Более того, между $\aleph_1$ и континуумом $\mathfrac c$ может быть очень много промежуточных алефов, хотя, конечно, не больше континуума.