Поток векторного поля

[awd]

Вычислить поток векторного поля $ \textbf{a} = xy\textbf{i} + yz\textbf{j}+ zx\textbf{k} $ через замкнутую поверхность: $\left\{ \begin{array}{l}x^2 + y^2 + z^2 = 16\\x^2 + y^2= z^2 (z \ge 0)\end{array} \right.$ Нормаль внешняя
Если считать непосредственно, то $K=\int\int\limits_S xy dydz + yz dxdz + zx dxdy$
Область разбиваем на две: на конус и на часть сферы. Сначала находим поток через конус:

$$K_1=2\int\int\limits_{D_{yz}} y\sqrt{z^2-y^2}dydz+2\int\int\limits_{D_{xz}} z\sqrt{z^2-x^2} dxdz$$

И при вычислении оказывается что эта часть потока равна 0
Поток через часть сферы:

$$K_2=2\int\int\limits_{D_{yz}} y\sqrt{16-z^2-y^2}dydz+2\int\int\limits_{D_{xz}} z\sqrt{16-z^2-x^2} dxdz+\int\int\limits_{D_{xy}} x\sqrt{16-x^2-y^2}dxdy$$

И при вычислении опять оказывается что поток равен 0. Но если считать по Остроградскому-Гауссу то поток равен $32\pi$
В чем ошибка? В переходе от поверхностного интеграла к двойному или в вычислении двойного интеграла?

[awd]

Вроде бы разобрался. Но теперь возникли сложности с взятием интеграла: $\int\limits_{0}^{\sqrt8} (8-x^2)\cdot \sqrt{(8-x^2)}dx$
Делаю замену: $x=\sqrt{8} \cdot \cos(t)$, $dx=-\sqrt{8} \cdot \sin(t)dt$:
$\int\limits_{-\pi/2}^{0} 8\sin^2(t)\sqrt{8}\sin(t)(-\sqrt{8})\sin(t)dt=-64\int\limits_{-\pi/2}^{0} \sin^4(t)dt=-12\pi$
Ответ получается такой же как в вольфраме, но только с противоположным знаком. Где ошибка?

[ewert]

awd в сообщении #386633 писал(а):

Где ошибка?

Не знаю, но вообще-то нормальные люди в качестве новой переменной берут не косинус, а синус -- вот именно во избежание нечаянных ошибок (с синусом легче -- с ним на естественных интервалах монотонность правильная).

[awd]

ewert, Спасибо, действительно, всё получилось!