Применение теоремы Руше

[Everest]

Задача такая:

Доказать, что при любом $a \in C$ и при целом $n \ge 2$ уравнение $1+z+az^n=0$ имеет хотя бы один корень в круге $|z| \ge 2 $

Нужно обязательно использовать теорему Руше:
Пусть $f(z)$ и $F(z)$ голоморфны в односвязной и ограниченной области $D$ и непрерывны вплоть до границы этой области и пусть для любого $z$ из границы области $D$: $|F(z)|>|f(z)|$. Тогда в этой области $D$ уравнение $F(z)+f(z)=0$ и $F(z)$ имеют одинаковое число корней с учетом кратности.

Так вот, если начать решать и по разному выделять $f(z)$ и $F(z)$ из уравнения $1+z+az^n=0$, то можно получить, что это справедливо не для любых $a $.

Найдя в задачнике данный пример, увидел указание, что доказать, с помощью теоремы Виета и Руше. Вот прошу подсказать мне как доказывать и с чего начать :)

[RIP]

Рассмотрите отдельно случаи $|a|<2^{-n}$ (здесь работает Руше) и $|a|\ge2^{-n}$ (а здесь Виет).

[Everest]

А вот можно конкретно как нам помогут формулы Виета? :)

[RIP]

Если все корни многочлена большие и старший коэффициент равен 1, то и свободный член большой.

[Everest]

Спасибо :)