Вычислить интеграл

[PreVory]

$\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\frac{dt}{\cos^3 t+\sin^3 t}$
Уже несколько часов бьюсь, никак не получается вычислить. Вероятно надо свести к бета-функции, так как задача была дана после этой темы, однако можно решить и любым другим способом.

[ИСН]

Слушайте, ну они же все сводятся к рациональным - есть там какая-то универсальная тригонометрич....

[ewert]

Вряд ли тут при чём-то бета-функция. Но вот что напрашивается: замена $t=x+{\pi\over4}$, затем раскрытие скобок, внесение косинуса под знак дифференциала и разложение на простейшие. В ответе будет какая-то комбинация логарифма и арктангенса. (Правда, арктангенс вроде бы превратится в пи, а вот логарифм всё-таки останется нетривиальным.)

ИСН в сообщении #386427 писал(а):

Слушайте, ну они же все сводятся к рациональным - есть там какая-то универсальная тригонометрич....

Теоретически да, а вот практически так сразу -- кубы не есть весьма хорошо.

[PreVory]

Действительно, с заменой получилось совсем легко его вычислить, спасибо)

[ewert]

На всякий случай (вдруг кому ещё поможет). Почему та замена напрашивалась. Потому, что напрашивалось разложение знаменателя как суммы кубов. После чего второй сомножитель сворачивался, но совсем чуток (там появлялся синус двойного угла ну и ещё единичка). Но вот поскольку первый сомножитель -- это просто синус плюс просто косинус, подобная замена действительно напрашивалась; тем более, что синус двойного угла при такой замене преобразовывается явно благоприятно. Ну а после всех этих наводящих соображений -- остаётся просто плюнуть на все эти предварительные выкладки и попытаться сделать эту замену тупо в лоб, применительно к исходному выражению.