Гильбертово пр-во (минимизация)...Функциональный анализ

[krasnoff]

Никак не смог точнее заголовок написать, поэтому извините.

Разделы, к которым эта задача относится - Гильбертово пространство, метод наименьших квадратов, теорема о проекциях и т.д.

Никак не могу осилить задачу, которую нужно решить.

ЗАДАНО:

$ p(t) \in P\mathbb{C}_n[0,1]: {p(t)=\alpha_0+\alpha_1*t+...+\alpha_n*t^n} $

Кроме этого задан оператор F:
$ F: P\mathbb{C}_1[0,1] \to Y $
$ Y=\mathbb{C}\oplus P\Pmathbb{C}_2[0,1] $
$ Fp(t)=((1+i)\int_0^1 p(t)dt, p(0)+\int_0^t p(\tau)d\tau) $
Также задан общий вид: $p(t)=\alpha_0+\alpha_1*t$, где обе альфы - комплексные числа.

Так же дано условие, что если $(z_1,z_2)_\mathbb{C}$ и $(p_1,p_2)_P_\mathbb{C}$ внутреннее произведение на указанных постранствах, то $(y_1,y_2)_Y=(p_1,p_2)_P_\mathbb{C}+(z_1,z_2)_\mathbb{C}$, т.е. внутренне произведение $y_i=(z_i,p_i) \in Y$

НАЙТИ:

Для заданных $y$ найти $p(t)$, которые являются решением $Fp(t)=y$. Если $y$ не является решением, его значение используйте для того, чтобы минимизировать ошибку $||Fp(t)-y||$

Два заданных $y$:

$y_a=(2+i2,1+t+t^2)$
$y_b=(2,1+t+t^2)$

Также дали подсказки, чтобы облегчить решение:

Для $p_1$ и $p_2$ $oplus P\Pmathbb{C}_n[0,1]$ внутреннее произведение имеет вид:

$(p_1,p_2)_P\Pmathbb{C}=\int_0^1p_1(t)*p_2^*(t)dt$
$(z_1,z_2)_\Pmathbb{C}=z_1(t)*z_2^*$

p_2^*$ и z_2^*$ - комплексно-сопряженные значения (обозначение такое - верхний индекс- *)


===

Коллеги, мучаюсь почти целый день, не могу решить.

Разобраться с тем, какой из y имеет решение относительно легко:

p(0)+\int_0^t p(\tau)d\tau)=1+t+t^2)$

Находим, что \alpha_1=2 и \alpha_0=1.

Для случая а) получаем решение p=1+t$

Для случая b) получаем, что решения нет, так как при найденных альфа не выполняется условие:
$(1+i)\int_0^1 p(t)dt=2$.

Соответственно, для этого случая надо минимизировать $||Fp(t)-y||$.

Будьте добры, помогите, пожалуйста, это сделать с учетом заданных условий... Не получается.

Заранее благодарен за помощь.