помогите с диффурами

[papirus]

Помогите плз, определить тип уравнения, и как следует их решать?
$1)y'^3+(3x-6)y'=3y$
$2) y(y-xy')=sqrt(x^4+y^4)$

[mihailm]

ну первое наверно надо попробовать методом введения параметра p=y', филиппов сб зад по дифурам стр 34-35,
а второе явно однородное

[papirus]

$1)y'=p, y=p^2/2 $
$p^3+(3x-6)p=3p^2/2$
.....
$x=p/2-p^2/3+2$
$dy=pdx=p(1/2-2/3p)dp$
$y=\int (p/2-2p^2/3)dp=p^2/4-2p^3/9+C$
$\left\{ \begin{array}{l} x=p/2-p^2/3+2,\\ y=p^2/4-2p^3/9+C \end{array} \right.$
а как в явном виде переписать? нужно из первого выразить x через p, и подставить во второе уравнение

2) $y(y-xy')=\sqrt{x^4+y^4}$
$ y=tx, y'=t'x$
$tx(tx-xt'x)=\sqrt{x^4+t^4x^4}$
$t^2x^2-tx^3dt/dx=x^2\sqrt{1+t^4}$
если $x\neq 0: t^2-txdt/dx=\sqrt{1+t^4}$
$ \frac {tdt}{t^2-\sqrt{1+t^4}}=\frac {dx}{x}$
\int \frac {tdt}{t^2-\sqrt{1+t^4}}=ln|x|+C$
$ \frac {1}{2} \int \frac {d(t^2)} {t^2-\sqrt{1+t^4}}$=$\frac {1}{2} \int \frac {dp} {p-\sqrt{1+p^2}}$=...
дальше чета не получается интеграл решить((

[ИСН]

В первом вообще ничего не понял, а во втором ещё раз, медленно: чему равно y' ?

[papirus]

ну в первом я делал замену y'=p отсюда y=p^2/2 или нет?
во втором, y'=t'x или же опять не правильно?
исправьте плз, я видимо замену не правильно сделал?

[ИСН]

Так. Что такое ' ?

[papirus]

это апостроф, т.е. производная $y'$

[ИСН]

Производная по чему?

-- Сб, 2010-12-11, 20:05 --

И чтобы два раза не вставать - чему равна производная от x по тому же самому?

[papirus]

ИСН в сообщении #386203 писал(а):

Производная по чему?

по x

Цитата:

-- Сб, 2010-12-11, 20:05 --

И чтобы два раза не вставать - чему равна производная от x по тому же самому?

1

Подскажите плз как правильно замену сделать? $y'=p$а y чему будет равно?

[ИСН]

Да подождите Вы с первым. Мы уже говорим о втором. Итак, y=tx, тогда производная от него (от y) равна чему? Почему так?

-- Сб, 2010-12-11, 20:20 --

(t - плохая буква для обозначения функции, но ладно уж.)

[papirus]

$t'x+t$

[ИСН]

Вооооот!

[papirus]

после подстановки получаем:$-tx^3t'=x^4\sqrt{1+t^4}$
если $x\neq 0: -tt'=x\sqrt{1+t^4}$
$tdt/\sqrt{1+t^4}=-xdx$
$\int{tdt/\sqrt{1+t^4}=-x^2/2+C}$
$1/2\ln(t^2+\sqrt{1+t^4})=-x^2/2+C$
$1/2\ln((y^2+\sqrt{x^4+y^4})/x^2)=-x^2/2+C$
$(y^2+\sqrt{x^4+y^4})/x^2=C_1e^{-x^2}$
с ответом чета не сходится, там $e$ вообще нету

[ИСН]

Есть такая функция - гиперболический синус. Или косинус.
Если не видите, при чём она тут - неважно. Выразите y, наконец, ведь можно же.

[papirus]

так? $y^2+\sqrt{x^4+y^4}=C_1x^2e^{-x^2}$
в ответе по другому: $y^2+\sqrt{x^4+y^4}=C$