Поверхность в других координатах

[alexey007]

Нужно было построить гладкую поверхность состоящую из сферы и псевдосферы, вот рисунок:
http://cs864.vkontakte.ru/u35813032/120 ... 573228.jpg

Теперь введя замену переменных в уравнения поверхности
$ x(u_1,u_2)=sin(u_1)sin(u_2)$
$y(u_1,u_2)=sin(u_1)cos(u_2)$
$ z(u_1,u_2)=cos(u_1)$
$u_1\in[-\pi,\frac{\pi}4]$

$ x(u_1,u_2)=sin(u_1)sin(u_2)$
$y(u_1,u_2)=sin(u_1)cos(u_2)$
$ z(u_1,u_2)=-ln(tan(u_1/2))-cos(u_1)+C_0$

$u_1\in(0,\frac{\pi}4]$, $u_2\in[0,2\pi]$
Теперь нужно построить эту поверхность в координатах $v_1, v_2$, которые связаны с $u_1,u_2$:
$u_1=\frac{1}2(v_1+v_2), u_2=\frac{1}2(v_1-v_2)$

Как теперь посчитать, в каких пределах должны меняться новые переменные?

[Yu_K]

Нарисуйте область в первых координатах - прямоугольник будет. И дальше надо посмотреть, как задать пределы новых переменных, чтобы новая область перешла в этот прямоугольник при известном отображении. Поскольку здесь линейное преобразование - то достаточно посмотреть угловые точки области и все станет ясно. Аналогично замене переменных в двойном интеграле все делается.

И потом можете проверить картинку в любом графическом пакете.

[alexey007]

Yu_K, спасибо за ответ, но чет до меня все равно дойти не может как это сделать. Область я нарисовал и в координатах $(u_1,u_2)$-прямоугольник получился, как вы и говорили, и в координатах $(v_1,v_2)$- тоже прямоугольник, только повернутый, а вот как пределы получить $v_1$ и $v_2$ все равно не пойму(((((((((((

[Yu_K]

http://matan.isu.ru/maple/5.html - замену переменных в двойном интеграле посмотрите.

[alexey007]

Ни чего понять не могу((((( Получить хотя бы для части окружности:
$0<=u_1<=2\pi$
$-\pi<=u_2<=0$, тогда для переменных $v_1,v_2$
$0<=\frac{(v_1+v_2)}2<=2\pi$,
$ -\pi<=\frac{(v_1-v_2)}2<=0$, домножим на 2
$0<=(v_1+v_2)<=4\pi, -2\pi<=(v_1-v_2)<=0$

Что теперь делать, чтобы получить в каких пределах должны меняться $v_1, v_2$ не могу понять(((

[ИСН]

Вы можете нарисовать на плоскости $(v_1,v_2)$ прямую $\frac{v_1+v_2}2 = 0$? Думаю, да. Значит, можете нарисовать и область, где верно неравенство $0\le\frac{v_1+v_2}2$. Ну и всё остальное таким же образом.

[alexey007]

))))), я это сделал уже)) вот картинка:
http://cs5032.vkontakte.ru/u35813032/11 ... e69e0f.jpg
Только как теперь пределы для $v_1 - ?,v_2 - ?$ найти?

[Yu_K]

Попробуйте разбить область на три части
-в первой $v_1$ меняется от $-a$ до $0$, $v_2$ меняется от $f_1(v1)$ до $f_2(v1) $,
-во второй $v_1$ меняется от $0$ до $b$, $v_2$ меняется от $f_3(v1)$ до $f_2(v1) $,
и аналогично для третьей области.