доказать неравномерную сходимость ряда

[PreVory]

Исследовать на равномерную сходимость ряд на множестве $[0;+\infty)$ ряд: $\sum \limits _{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}$
Ну достаточно понятно, что он сходится неравномерно, если взять $x=n$ то получим расходящийся ряд, но, разумеется, это не доказательство.
Если попытаться воспользоваться отрицанием критерия Коши, то не получается построить правильную оценку в нужную сторону.
Можно ли сделать иначе или как показать неравномерную сходимость с помощью критерия Коши?

[ИСН]

Где-где мы получим расходящийся ряд?

[Null]

Пусть $\sum \limits _{n=100000}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ - маленькое. Тогда $\sum \limits _{n=1}^{99999}\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ - большое. Устремим $x$ к $\infty$.

[PreVory]

Ну ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}e^{-n}$ расходится, конечно отсюда не следует, что исходный ряд сходился неравномерно, но даёт большие шансы на это.

-- Чт дек 09, 2010 22:50:51 --

Null в сообщении #385534 писал(а):

Пусть $\sum \limits _{n=100000}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ - маленькое. Тогда $\sum \limits _{n=1}^{99999}\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ - большое. Устремим $x$ к $\infty$.

Собственно это и надо доказать, пускай даже в такой неформальной форме.

[Null]

Что многочлен меньше экспоненты?

[PreVory]

Null в сообщении #385544 писал(а):

Что многочлен меньше экспоненты?

Лично я не вижу тут многочлена, по крайней мере конечной степени. И к тому же, причём здесь это? Тут у нас ряд, да и всё равно начиная с некоторого номера $n!>x^n$.

[Null]

$\sum \limits _{n=1}^{99999}\frac{x^n}{n!}e^{-x}\to 0$ при $x \to \infty$, так как это многочлен деленный на экспоненту.

[PreVory]

Вы не можете рассматривать предел от суммы ряда как сумму от предела, в виду недоказанной равномерной сходимости ряда, даже если вдруг таковая имеет место. И к тому же, какая разница чему равен предел этой суммы, если оценивать, то уж остаток ряда.

[ИСН]

Какой к чёрту ряд, это конечная сумма. А остаток, ну, он с ней неким образом связан...

[Null]

Выложу полное доказательство.
От противного пусть ряд сходиться равномерно по $x$. Тогда $\sum \limits _{n=M+1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}<0.1$ при некотором $M$ и любом $x$.

$\sum \limits _{n=1}^{M}\frac{x^n}{n!}e^{-x}=1-e^{-x}-\sum \limits _{n=M+1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}>0.5$ При $x>1$.
Тогда $\sum \limits _{n=1}^{M}\frac{x^n}{n!}>0.5 e^{x}$ при $x>1$ что неверно при больших $x$.

[Gortaur]

ИСН
Это я уже под вечер сошел с ума или подстановка индекса суммирования вместо $x$ это теперь операция, разрешенная законом?

[EtCetera]

Gortaur в сообщении #385568 писал(а):

подстановка индекса суммирования вместо $x$

Рискну заметить, что эта, достаточно распространенная ошибка, проистекает отчасти и от некоторого несовершенства математических обозначений. Если рассматривать ситуацию, скажем, с программистской точки зрения, сразу становится понятно, что $n$ $\text{---}$ внутренняя (локальная) переменная относительно "процедуры" суммирования $\sum$, в то время как $x$ $\text{---}$ формальный параметр; подставлять же первую на место второго нелепо.

[ИСН]

Gortaur, Вы у меня спрашиваете? Я этого не предлагал.
Отдельный вопрос - когда (не всегда ли) такой трюк случайно приводит к... но ну его нафиг.

[PreVory]

Как я уже говорил, есть теорема, по которой такой переход допускается, но в теореме требуется равномерная сходимость, которой здесь нет.

-- Пт дек 10, 2010 07:22:40 --

Null в сообщении #385556 писал(а):

Выложу полное доказательство.
От противного пусть ряд сходиться равномерно по $x$. Тогда $\sum \limits _{n=M+1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}<0.1$ при некотором $M$ и любом $x$.

$\sum \limits _{n=1}^{M}\frac{x^n}{n!}e^{-x}=1-e^{-x}-\sum \limits _{n=M+1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}e^{-x}>0.5$ При $x>1$.
Тогда $\sum \limits _{n=1}^{M}\frac{x^n}{n!}>0.5 e^{x}$ при $x>1$ что неверно при больших $x$.

Проблема лишь в том, что М зависит от х, поэтому такое рассуждение провести не удается.

[Padawan]

PreVory в сообщении #385621 писал(а):

Проблема лишь в том, что М зависит от х, поэтому такое рассуждение провести не удается.

$M$ не зависит от $x$, т.к. по предположению сходимость равномерная. Доказательство от противного.

-- Пт дек 10, 2010 11:28:19 --

Вообще, всё проще. Сумма ряда равна $1-e^{-x}$. При $x\to +\infty$ она стремится к $1$. А все частичные суммы при $x\to +\infty$ стремятся к нулю. Значит, сходимость неравномерная в любой окрестности $+\infty$.