Обтекание тел и парадокс Даламбера-Эйлера

[Ales]

Течение воды в реке по теории должно обтекать гладкие тела без сопротивления.
Но на деле это не так.

Предлагаю так объяснять этот парадокс:
теоретическое ламинарное обтекание неустойчиво и поэтому не наблюдается в природе.

В самом деле, если взять ламинарный поток и добавить небольшое возмущение (вариацию),
то первоначальный поток будет переносить ротор этого возмущения:
циркуляция $\oint (u+\delta u)d(x+\delta x)=\oint \delta u dx$ не меняется со временем.

Любое малое локальное вихревое возмущение движется по исходному ламинарному потоку вместе с переносимой потоком жидкостью.
Поток спереди обтекаемого тела и в стороне от него слабо деформирует жидкость и переносимую область возмущения.
Ротор возмущения здесь почти не меняется и следовательно остается незначительным, само возмущение тоже мало, поскольку его можно определить по его ротору.
Значит перед телом и по сторонам ламинарное течение устойчиво. Что и наблюдается на практике.
Зато области жидкости которые попадают в седловую точку на поверхности обтекания деформируются очень сильно, и облегают тело с разных сторон. Область возмущения растягивается и сжимается (ведь объем сохраняется). По некоторым направлениям ротор возмущения растет экспоненциально и ламинарное течение вокруг тела переходит в турбулентное.

[Munin]

Ales в сообщении #385483 писал(а):

Течение воды в реке по теории должно обтекать гладкие тела без сопротивления.Но на деле это не так.Предлагаю так объяснять этот парадокс: теоретическое ламинарное обтекание неустойчиво и поэтому не наблюдается в природе.

Объяснение противоречит наблюдаемым фактам (ламинарность проверяется экспериментально, по визуализации токов окрашиванием жидкости). А чем вас не устраивает стандартное объяснение, отсылающее к вязкости?

[Ales]

Munin в сообщении #385495 писал(а):

Ales в сообщении #385483 писал(а):

Течение воды в реке по теории должно обтекать гладкие тела без сопротивления.Но на деле это не так.Предлагаю так объяснять этот парадокс: теоретическое ламинарное обтекание неустойчиво и поэтому не наблюдается в природе.

Объяснение противоречит наблюдаемым фактам (ламинарность проверяется экспериментально, по визуализации токов окрашиванием жидкости). А чем вас не устраивает стандартное объяснение, отсылающее к вязкости?

Как раз не противоречит. Где же противоречит? Наоборот все как в жизни.
Перед телом и по сторонам ламинарное постоянное течение, а возле него турбулентный слой и турбулентный след позади.

Я думаю, что вязкость только вносит возмущение. Но и без нее было бы так.
Смотрите: интеграл по объему квадрата ротора возмущения должен экспоненциально расти вблизи обтекаемой поверхности. Это математика. И для объяснения достаточно модели невязкой жидкости. Причем все в самом современном духе: экспоненциальное разбегание.
Вязкость кстати мешает турбулентности.

К сожалению не очевидно что дальше происходит, но неустойчивость ламинарного течения вблизи поверхности обтекания и в следе за ним очевидна.

-- Чт дек 09, 2010 22:17:05 --

Это объяснение никак не противоречит обычному (вязкость, турбулентность и т.п.), но только дополняет его и объясняет почему по-другому никак нельзя.

-- Чт дек 09, 2010 22:44:34 --

А вот в плоском случае получается, что ротор сохраняется (он направлен перпендикулярно плоскости) и ламинарное течение должно быть устойчиво, но только это должно быть течение между двумя близкими пластинами.
Вихри здесь будут в плоскости течения и должны возникать только из-за вязкости.

[Munin]

Ales в сообщении #385517 писал(а):

Наоборот все как в жизни.Перед телом и по сторонам ламинарное постоянное течение, а возле него турбулентный слой и турбулентный след позади.

То есть вы настаиваете, что экспериментально ламинарного режима обтекания не наблюдалось?

Ales в сообщении #385517 писал(а):

Я думаю, что вязкость только вносит возмущение.

Она создаёт сопротивление и диссипирует энергию, кстати, гася возмущения.

Ales в сообщении #385517 писал(а):

Это математика. И для объяснения достаточно модели невязкой жидкости.

Вопрос в адекватности объяснения.

[Ales]

Munin в сообщении #385551 писал(а):

То есть вы настаиваете, что экспериментально ламинарного режима обтекания не наблюдалось?

Если мое объяснение правильное, то:
1. ламинарного режима не должно быть в объемном случае у поверхности обтекания и за обтекаемым телом (обтекание шара или столба в воде), но размеры турбулентного слоя и следа могут быть и невелики, в стороне от тела и впереди него поток ламинарный;
2. в плоском случае, когда жидкость зажата между двумя пластинами ламинарное течение устойчиво всюду и турбулентность не должна возникать.

Что до экспериментов то с ними интересно познакомиться, но те картинки которые я видел, кажется, подтверждают эту теорию.

Munin в сообщении #385551 писал(а):

гася возмущения

Имел в виду, что вязкость добавляет небольшую силу, которая вносит возмущение в невязкое ламинарное движение.
Вязкость создает вначале небольшие вихри, они потом растут по описанному выше сценарию за счет энергии ламинарного потока.

[Munin]

Ales в сообщении #385558 писал(а):

Вязкость создает вначале небольшие вихри, они потом растут по описанному выше сценарию за счет энергии ламинарного потока.

А может быть, не растут, а гаснут, потому что диссипация энергии происходит быстрее, чем получение её извне. Вы прикидывали?

Ales в сообщении #385558 писал(а):

Что до экспериментов то с ними интересно познакомиться, но те картинки которые я видел, кажется, подтверждают эту теорию.

Ну, картинки - это просто иллюстрации для школьников. Реальные эксперименты, конечно, поточнее. Но вопрос интересный, я вообще не знаю, рассматривал ли кто-нибудь течения под микроскопом.

[Ales]

Munin в сообщении #385565 писал(а):

А может быть, не растут, а гаснут, потому что диссипация энергии происходит быстрее, чем получение её извне. Вы прикидывали?

Кстати вроде бы и прикинуть можно: посчитать собственные значения во фронтальной особой точке на поверхности обтекания (там где поток разделяется) и сравнить с вязкостью поделенной на плотность. Если вязкость забивает, то не будет турбулентности. А если собственное значение больше - то будет.
Но это уже более тонкий анализ.
Предполагаем что вязкость мала - вода течет.

[Munin]

Речь у меня была не об особой точке: там трудно энергией накачаться. А о пути до особой точки. Там картина скоростей проста, и проанализировать жизнь возмущения должно быть просто.

А вязкость мала на больших пространственных масштабах, когда вы суётесь в мелкие детали, она сильно возрастает.

[Yurii]

Ales в сообщении #385558 писал(а):

Если мое объяснение правильное, то:
1. ламинарного режима не должно быть в объемном случае у поверхности обтекания и за обтекаемым телом (обтекание шара или столба в воде), но размеры турбулентного слоя и следа могут быть и невелики, в стороне от тела и впереди него поток ламинарный;
2. в плоском случае, когда жидкость зажата между двумя пластинами ламинарное течение устойчиво всюду и турбулентность не должна возникать.

1. Парадокс Эйлера-Даламбера справедлив только для невязкой жидкости и к ламинарности не имеет никакого отношения по определению.
2. Ламинарно-турбулентный переход существенно зависит от числа Рейнольдса течения и будет возникать как в объемном так и в плоском случае. Более того, в линейной теории усточивости обычно рассматриваются именно двумерные возмущения (см. теорему Сквайера).
3. Течение в реке всегда турбулентно. Это достаточно просто доказать предположив обратное и посчитав скорость реки в ламинарном случае в канале постоянного наклона.

[kolas]

Munin в сообщении #385551 писал(а):

Она создаёт сопротивление и диссипирует энергию, кстати, гася возмущения.

Но есть режим, когда вязкость провоцирует возмущение - турбулентное течение, если же вязкость очень велика, например как в мёде, то там возмущения гасятся.

[kolas]

А по сабжу, то ламинарное течение на границе раздела тело-жидкость не реализуется, т.к. есть адгезия, следствие - ненулевой ротор. Другое дело, число Рейнольдса как раз и определяет, будет ли этот ротор гаситься вязкостью при данной скорости течения, или наоборот будет прогрессировать и вызовет неустойчивое течение.

[Munin]

kolas
Спасибо, ваши замечания были очень ценны для нас.

[Ales]

Трудно сказать, насколько все, что я здесь написал близко к реальной жизни.
Нехитрая математика показывает, что стационарное, потенциальное обтекание (невязкой, несжимаемой жидкости) неустойчиво в трехмерном случае и устойчиво в плоском случае.
Неустойчивое решение вроде положения маятника в верхней точке равновесия - теоретически возможно, а реально не должно наблюдаться.
Но если есть хоть какая вязкость, то моя конструкция не проходит: кажется вязкость гасит возмущение сильнее, чем деформация области возмущения его увеличивает (тоже математика).