Непрерывность функции

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #385764 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #385758 писал(а):

Как насчет функции $y = \tan x$? Является ли она непрерывной с точки зрения определения "Функция непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт."?

Конечно, является.

bozhok в сообщении #385842 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #385780 писал(а):

На всей числовой прямой?

В своей области определения, конечно же.

Совершенно верно. Числовая прямая без точек вида $x=\pi k$, где $k$ - целые числа.

Ещё пару примеров:
$y= \left\{ \begin{array}{l} x+2, x>5 \\ x-2, x<5 \end{array} \right. $
Эта функция определена на $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$ и непрерывна на своей области определения.
А вот эта функция
$y= \left\{ \begin{array}{l} x+2, x>5 \\ x-2, x \leqslant 5 \end{array} \right. $
определена на всей числовой прямой. И эта функция не является непрерывной. Непрерывность нарушена в точке $x=5$.

[paha]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #385981 писал(а):

Непрерывность нарушена в точке $x=5$.

Будьте последовательны:)) Вы же не определяете "непрерывность в точке". Согласно рекламируемому Вами определению, надо сказать: непрерывность нарушается для открытых множеств, содержащих точку $y=3$

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #386011 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #385981 писал(а):

Непрерывность нарушена в точке $x=5$.

Будьте последовательны:)) Вы же не определяете "непрерывность в точке". Согласно рекламируемому Вами определению, надо сказать: непрерывность нарушается для открытых множеств, содержащих точку $y=3$

Хорошо. Буду последователен. «Полезен также локальный вариант понятия непрерывности. Отображение $f$ топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ называется непрерывным в точке $x \in X$ тогда и только тогда, когда прообраз каждой окрестности $f(x)$ при отображении $f$ является окрестностью точки $x$.» Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981. Страница 123.
При этом под окрестностью Джон Келли понимает: «Подмножество $U$ топологического пространства $(X, F)$ называется окрестностью ($F$-окрестностью) точки $x$ тогда и только тогда, когда в $U$ лежит открытое множество, содержащее $x$. … Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.» Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981. Страница 62.