Сложное уравнение

[binky]

Решить уравнение:

$(x^4-a^4)\sqrt{x^2-b^2}-c=0$

$a, b, c = const > 0$

Сколько ни мучился, ничего не выходит.

[erwins]

$y=x^2-b^2$
$((y+b^2)^2-a^4)y-c=0$
$y^3+2b^2y^2+(b^2-a^4)y-c=0$
кубическое уравние

[ИСН]

причём, что характерно, общего вида.

[Ales]

binky в сообщении #384892 писал(а):

Решить уравнение:

$(x^4-a^4)\sqrt{x^2-b^2}-c=0$

$a, b, c = const > 0$

Сколько ни мучился, ничего не выходит.

Может его вообще нельзя решить в радикалах.
Или Вы уверены что есть решение?

И зачем решать его в радикалах?

-- Ср дек 08, 2010 20:21:07 --

erwins в сообщении #384977 писал(а):

$y=x^2-b^2$
$((y+b^2)^2-a^4)y-c=0$
$y^3+2b^2y^2+(b^2-a^4)y-c=0$
кубическое уравние

Пропустили корень из $y$.

-- Ср дек 08, 2010 20:27:42 --

И вообще непонятно зачем решать уравнения в радикалах.
Возни много, а пользы ноль.

[ИСН]

Тьфу, конечно, корень. Значит, пятой, и не общего.

[binky]

Ales в сообщении #385010 писал(а):

Или Вы уверены что есть решение?

Нет. Но если его нет, то это необходимо доказать.

[ИСН]

Может есть, может не есть. Это смотря какие константы.

[Ales]

binky в сообщении #385042 писал(а):

Ales в сообщении #385010 писал(а):

Или Вы уверены что есть решение?

Нет. Но если его нет, то это необходимо доказать.

Точно ли необходимо?

Откуда такая задача? Знание истории задачи помогает найти ответ.

[Ales]

Видимо, решение в радикалах невозможно.
Но чтобы это доказать, надо применить нетривиальную теорию Абеля и Галуа.
Похожее уравнение использовано при доказательстве неразрешимости уравнения 5-ой степени в книге В.Б. Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях": $3w^5-25w^3+60w=c$ - неразрешимо в радикалах.
Сложное уравнение заменой $w^2=x^2-b^2$ приводится к виду:
$w^5+2b^2w^3+(b^4-a^4)w=c$.

[binky]

Ales в сообщении #385258 писал(а):

Видимо, решение в радикалах невозможно.
Но чтобы это доказать, надо применить нетривиальную теорию Абеля и Галуа.
Похожее уравнение использовано при доказательстве неразрешимости уравнения 5-ой степени в книге В.Б. Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях": $3w^5-25w^3+60w=c$ - неразрешимо в радикалах.
Сложное уравнение заменой $w^2=x^2-b^2$ приводится к виду:
$w^5+2b^2w^3+(b^4-a^4)w=c$.

Спасибо!!!