Упорядочение чисел

[Sasha2]

Вот известно, что множество комплексных чисель нельзя упорядочить понятиями "больше", "меньше", "равно" как множество вещественных чисел, ну разумеется, чтобы при этом были справедливы те же самые свойства упорядочения в отношении суммы и произведения.

Хотелось бы узнать, вытекает ли эта невозможность из-за того, что множество комплексных чисел ну как-бы двумерно. То есть верно ли, что так ведет себя и любое другое двумерное множество.

[_Z_]

я думаю начать надо с определения двумерного множества.

[ИСН]

причём имеющего понятия о сумме и произведении.

[Sasha2]

Ну вообщем то и хотелось бы понять, что если множество двумерно, но мы на нем как-то умудрились ввести понятия сложения и умноженя, так, что они удовлетворяют всем аксиомам поля, то тогда упорядочить это множество "естественным" образом (здесь имеется в виду с сохранением этих отношений "больше" и "меньше" как в поле вещественных чисел, ну чтобы такая же связь была с операциями сложения и умножения) уже нельзя вне зависимости от природы этого множества.

Одним словом непонятно, почему одни множества можно красиво упорядочить (с сохранением упорядочения на операциях сложения и умножения), а другие нельзя. Является ли это следствием того, что одни множества одномерные, а другие неодномерные (или изоморфны более чем одномерным).

[ИСН]

Sasha2 в сообщении #384828 писал(а):

если множество двумерно, но мы на нем как-то умудрились ввести понятия сложения и умноженя, так, что они удовлетворяют всем аксиомам поля

У нас дофига вариантов?

[Sasha2]

Ну согласен, спорол ерунду. Но вопрос вообщем то понятен. Может я формулирую не совсем верно.

[ИСН]

Это гейзенберговский вопрос: при попытке сформулировать его строго он исчезает.

[Mathusic]

Sasha2 в сообщении #384828 писал(а):

Является ли это следствием того, что одни множества одномерные, а другие неодномерные (или изоморфны более чем одномерным).

Хм... "следствием"... Но вы ведь некую "первопричину" ищите?

Тогда она не в этом. Вы же о размерности судите над полем $\mathbb{R}$, а вот над $\mathbb{Q}$ оба поля бесконечномерные.
А доказательство того, что $\mathbb{R}$ - единственное с точностью до изоморфизма непрерывное линейно упорядоченное поле, есть в Кудрявцеве.