геометрическая вероятность, задача о встрече

[natasha346]

задачка:3 человека договорились встретится с 12 до 13 в опред месте,и договорились ждать друг друга не более 20 минут. Какова вероятность их встречи????

[незваный гость]

1) Уточните (для себя) условие, а именно, что такое «встреча». Это встреча всех трех или любых двух?
2) Попробуйте разобрать задачу для двух человек. (Стандартный способ состоит в рисовании пространства событий в виде графика). Вам станет понятнее, что происходит с тремя…

[M-A-E]

Решается очень просто по геометрическому определению вероятности, как отношение двух мер: меры общего множества
и множества благоприятных исходов. Объяснять подробно не буду.
Введем систему координат XOY, по оси абцисс отложим время для первого человека, для втогрого --- по оси ординат. x и y --- их время прихода)))
Общее множество \Omega --- квадрат со стороной 1 (13-12), а множество благоприятных исходов --- шестиугольник внутри этого квадрата, ограниченный следующими прямыми |y-x|\leq\frac{1}{3}; 20 минут = 1/3 часа.
Площадь этой фигуры удобно посчитать как разность площади квадрата и двух треугольников))). Ответ приводить не буду. Только не забудь, что вероятность не меньше 0 и не больше 1.)))
Вообще более общая задача есть у Свешникова в его сборнике задач --- там есть и ответ

[natasha346]

Естественно задачу для 2х человек я решить могу)ивстреча одновременно 3х)
я НЕ МОГУ ИЗОБРАЗИТЬ пересеченья встречи 3х человек в 3х мерном пространстве и понять какой там объем)

[PAV]

Давайте уточним условие задачи - встречей считается встреча всех трех одновременно, так ведь?

[natasha346]

да всех трех)в течении часа все три должны встретится,я поняла что это должен быть объемное пространство,но не могу его построить для пересечения всех трех и следлвательно посчитать объем фигуры чтоб найти вероятность

[Аурелиано Буэндиа]

natasha346 писал(а):

да всех трех)в течении часа все три должны встретится,я поняла что это должен быть объемное пространство,но не могу его построить для пересечения всех трех и следлвательно посчитать объем фигуры чтоб найти вероятность

Попробуйте вначале решить для 2-х человек. Допустим первый человек пришел в момент времени $x$, а второй в $y$. Как узнать встретились ли они? Запишите условие того, что они встретятся.

[natasha346]

Я УЖЕ ПИСАЛА я знаю как решать для двух я не даун и прекрасно представляю как решить для трех но мне просто для трех не построить это пересечение а если вы сами не знаете то так и напишите

[Аурелиано Буэндиа]

Цитата:

просто для трех не построить это пересечение

Ну хорошо, тогда напишите систему неравенств (в случае 3-х человек) которая у Вас получилась и тогда мы разберемся как строить пересечение.

[natasha346]

[x-y]<20 при этом 0<z<60
[x-z]<20 0<y60
[y-z]<20 0<x<60
должна получится объемная фигура и надо посчитать ее объем

[natasha346]

ну там получается получается три призмы с 6 угольным основанием надо пересечение всех трех найти

[Аурелиано Буэндиа]

natasha346 писал(а):

[x-y]<20 при этом 0<z<60
[x-z]<20 0<y60
[y-z]<20 0<x<60
должна получится объемная фигура и надо посчитать ее объем

Можно попытаться решить так: найти площадь фигуры $S(z)$, которая ограничивается Вашими неравенствами при фиксированном $z$. Например,
$z=10$, $z=30$,
$z=50$,
а затем вычислить интеграл

$$ P=\int_0^{60} S(z)dz $$

[Аурелиано Буэндиа]

Да, после этого интеграл нужно разделить на $60^3$

[PAV]

Если я не ошибаюсь, то искомое тело можно получить так (по аналогии с двумерным случаем). Начинаем с главной диагонали ($x=y=z$). От начала координат отступаем по каждой из осей на 20 и из полученных точек проводим прямые, параллельные главной диагонали. Они и будут ограничивать искомое тело.

Оно представляет собой типа трубы с треугольным сечением.

Чтобы найти объем, можно разделить его на две пирамиды по краям и трубу-цилиндр посередине.

[natasha346]

Аурелиано Буэндиа

спасибо за предложение,я правильно поняла площадь будет по формуле
s=400+x*20? а P=0.278