*слабая топология

[neo66]

Пусть $X$ банахово пространство, $X^*$ - сопряженное, $f_n \in X^*$ последовательность ограниченых линейных функционалов, такая, что последовательность $f_n(x)$ - сходится для любого $x\in X$. Ясно, что $f_n$ определяет некоторый линейный функционал $f$ на $X$. Верно ли:

1)$f$ ограничен? (Это я, как мне кажется, могу доказать)

2)$\lim\limits_{n \to \infty} |f_n|$ существует?

3) $|f|=\lim\limits_{n \to \infty} |f_n|$?

[moscwicz]

1) теорема Банаха-Штейнгауза
2) 3) -- $\Big||f(x)|-|f_n(x)|\Big|\le |f(x)-f_n(x)|$

[neo66]

moscwicz в сообщении #384552 писал(а):

1) теорема Банаха-Штейнгауза
2) 3) -- $\Big||f(x)|-|f_n(x)|\Big|\le |f(x)-f_n(x)|$

Первое я осознал, спасибо. А вот как из этого неравентва следует сходимость норм, что-то пока непонятно.

[moscwicz]

Вообще-то нормы обозначаются иначе. Сходимость норм не следует из слабой сходимости.

[ewert]

neo66 в сообщении #384528 писал(а):

2)$\lim\limits_{n \to \infty} |f_n|$ существует?

3) $|f|=\lim\limits_{n \to \infty} |f_n|$?

Берём пространство $C_0[0;1]$ -- непрерывных функций с нулевым граничным условием в нуле. Берём последовательность функционалов $f_n$ таких, что $f_nu$ -- это усреднение функции $u(x)$ по отрезку $[0;{1\over n}]$. Эта последовательность слабо сходится к нулевому функционалу (из-за граничного условия). Однако норма каждого $f_n$ равна единице, так что п.3 неверен. Но и п.2 тоже -- достаточно, например, взять последовательность, в которой указанные элементы $f_n$ чередуются с нулевым функционалом.

[Хорхе]

(Если бы из слабой сходимости следовала сходимость норм, то следовала бы и сильная сходимость.)

[neo66]

Очень хорошо. Но, если не против, буду задавать глупые вопросы дальше. Пусть $X=C[0,1]$ и $f_n\in L^1[0,1]$ - последовательность функций, действующих на $C[0,1]$ так: $f_n(x)= \int\limits_{0}^{1} f_n(t)x(t) dt$. Пусть $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)$ существует для всех $x\in X$. Как мы уже поняли, $f$ - ограниченый линейный функционал на $C[0,1]$. Что можно сказать о его норме? Что можно сказать о последовательности $\|f_n\|$?